Erwartungswert und Varianz einer Funktion von Zufallsvariablen

Question

Seien X₁,...,X_n unabhängig und identisch auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariablen. Ferner sei Y := max(X₁,...,X_n). Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von Y.

Hinweis: Berechnen Sie zunächst Verteilungsfunktion und Dichte der Verteilung von Y.

Answer 1

die Verteilungsfunktion wäre

$$ F_Y(x) = x^n $$

Gruß

Comments

Danke schonmal für die Antwort. Wie kommst du denn darauf? Es fällt mir irgendwie schwer diese Verkettung der Zufallsvariablen zu verstehen.

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\(F_Y(x)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass \( 0 \leq Y \leq x \) für ein \(x \in [0,1] \). Das bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass das Maximum der Zufallsvariablen \(X_1\) bis \(X_n\) zwischen \(0\) und \(x\) liegt. Das kann nur sein, wenn jede Zufallsvariable kleiner gleich \(x\) ist. Da die Zufallsvariablen unabhängig sind, ist also die Verteilungsfunktion von \(Y\) das Produkt der Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen \(X_1\) bis \(X_n\).