Wie berechnet man die Nullstellen von fa(x) = ax + e^-x

Question

Wie berechnet man die Nullstellen der Funktionenschar fa(x) = ax + e^-x? Ab für a= 3 muss es nämlich Nullstellen geben!

Comments

Also gut, wenn ich ausklammere, bekomme ich Folgendes:

$$ e^{-x}(ae^{x}+1) $$

Leider hilft mir das aber nicht sehr viel weiter!

Answer 1

Das ist leicht mit LambertW Funktion berechenbar, die jeder gute Rechner kennt:

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

§5

Wenn Ihr diese noch nicht hattet, reichen Näherungsverfahren wie

- Bisektion

- Newton-Verfahren

für a=3:

LambertW(-1,-1/3)=-1.512134551657842473896739678...

LambertW(0,-1/3)=-0.619061286735945112152326994...

Funktioniert auch mit komplexen Zahlen.