Warum gilt Skalarprodukt (x,y)= 1/4*( ||x+y|| (Hoch 2) - ||x-y||(Hoch 2)?

Question

Hi, kann mir wer durch Umformung zeigen, warum das Skalarprodukt (x,y)= 1/4*( ||x+y||²- ||x-y||²) für alle x, y ∈ R ist?

Answer 1

( ||x+y||²- ||x-y||²) 

= ( (x+y)²- (x-y)²) 

 x² + 2xy + y² - x² + 2xy - y² 

= 4 <x,y >  | :4

1/ 4 • ( ||x+y||²- ||x-y||²) = < x,y>

Gruß Wolfgang

Answer 2

Das geht wie $$xy=\frac{1}{4}\left[(x+y)^2-(x-y)^2\right].$$