Geometrie mit Skalarprodukt, Beweise x+y und x-y orthogonal

Question

Seien x, y Vektoren in R³, beweisen sie, dass die Vektoren x+y und x-y orthogonal sind genau dann, wenn |x|²=|y|².

Mein Ansatz ist, dass x+y und x-y im Skalarprodukt Null seien müssen, wenn man |x|²=|y|² einsetzt, komme aber auf kein sinnvolles Ergebnis.

Kann mit bitte jemand weiterhelfen.

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Forme das Skalarprodukt $(x+y) \ast (x-y)$ um. Welche Regeln kennst Du dazu für das Skalarprodukt?

Answer 1

$$(\overrightarrow x + \overrightarrow y) \cdot (\overrightarrow x - \overrightarrow y) = 0\newline \begin{pmatrix} x_1 + y_1\\x_2 + y_2\\x_3 + y_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 - y_1\\x_2 - y_2\\x_3 - y_3 \end{pmatrix} = 0 \newline (x_1 + y_1) \cdot (x_1 - y_1) + (x_2 + y_2) \cdot (x_2 - y_2) + (x_3 + y_3) \cdot (x_3 - y_3) = 0 \newline {x_1}^2 - {y_1}^2 + {x_2}^2 - {y_2}^2 + {x_3}^2 - {y_3}^2 = 0 \newline ({x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2) - ({y_1}^2 + {y_2}^2 + {y_3}^2) = 0 \newline |\overrightarrow x|^2 - |\overrightarrow y|^2 = 0 \newline |\overrightarrow x|^2 = |\overrightarrow y|^2$$

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Vielen Dank! :)

Answer 2

Das Skalarprodukt ist eine symmetrische Bilinearform, also

$(x+y)\cdot (x-y)=x\cdot x+x\cdot (-y)+y\cdot x+y\cdot (-y)=$

$=x\cdot x-x\cdot y + x\cdot y-y\cdot y=|x|^2-|y|^2$