Matrix eines Körpers mit Rang r. Existenz von weiteren Matrizen beweisen

Question

K sei ein Körper und sei A ∈ K^pxq eine Matrix von Rang r.

Ich muss zeigen dass folgendes gilt:

Es existiert die Matrizen L ∈ GL_p(K) und R ∈ GL_q(K) so dass LAR = ∑ _{i=1, r}  E_i,i

Ich weiß nun nicht wie ich dass tun soll und ich weiß auch nicht wie ich den Rang herausfinde von einer Matrix die nicht unbedingt quatratisch ist.

Comments

Die Ausführung von elementaren Zeilenumformungen lässt sich durch Multiplikation mit Frobeniusmatrizen bewerkstelligen. Durch Muliplikation mit einer geeigneten Matrix von links lässt sich die Matrix also in reduzierte Zeilenstufenform bringen.

Analog dazu lassen sich elementare Spaltenumformungen durch Multiplikation der Matrix von rechts bewerkstelligen, so das die geforderte Form entsteht.