Sei f: ℝ^2→ℝ die Funktion f(x,y):=(x^3+y^3)/(x^2+y^2) in (x,y) ≠ (0,0), sonst 0

Question

Sei f: ℝ²→ℝ die Funktion

\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{array}\right. \)

Ist f stetig? Existieren die Richtungsableitungen von f im Punkt (0, 0)? Sind die partiellen Ableitungen stetig? Ist f differenzierbar?

Comments

Kann man die Richtungsableitungen folgendermassen machen?

Sei y = ax, a Element R.

f(x,ax) = (x^3 + a^3 x^3)/(x^2 + a^2x^2)
= (1+a^3) / (1+a^2) * x^3/x^2 =  (1+a^3) / (1+a^2) * x

In Richtung y=ax ist f(x,ax) eine lineare Funktion mit der Steigung

m= (1+a^3) / (1+a^2)  . Das ist immer eine reelle Zahl. Deshalb existieren diese Richtungsableitungen entlang von gerade Pfaden Richtung (0|0).

Nun resultieren aber bereits für a=1 und a=2 zwei verschiedene Steigungen. 2/2 = 1 resp. 9/5.

D.h. in (0/0) existiert keine Ableitung. Also in (0/0) nicht differenzierbar.

Die "Auffaltung" bei (0/0) deutet darauf hin, dass f(x/y) in (0/0) keine Tangentialebene haben kann.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%2Cy%29%3D+%28x%5E3%2By%5E3%29%2F%28x%5E2%2By%5E2%29

Answer 1

Die Funktion ist stetig in (x,y) ≠ (0,0) als ein Bruch von stetigen Funktionen.

Die Funktion ist stetig in (0,0) wenn folgendes gilt:

  1. f(0,0) ist definiert, also (0,0) ist in der Definitionsmenge von f.

  2. Der Grenzwert $$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$$ existiert.

  3. Es gilt $$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=f(0,0)$$