Komplexe Zahl in kartesischer Form darstellen

Question

Ich soll die folgende Komplexe Zahl in Kartesischer Form darstellen

z= 1/(1+2i)^4                                

Mein Ansatz war jetzt die Klammer einfach auszurechnen dann kam ich auf

1/1+16i

Die Kartesische Form ist ja z=a+ib Was wäre den jetzt der nächste Schritt um auf die richtige Lösung zu kommen?

Comments

Achtung (1+2i)^4 ≠ 1^4 + 2^4 i

Schau mal, was rauskommen sollte:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2B2i%29%5E4

Answer 1

(1+2i)⁴= (1+2i)·(1+2i)·(1+2i)·(1+2i) muss ausmultipliziert werden.

Du darfst nicht einfach (1+2i)⁴=1⁴ + (2i)⁴ rechnen. Außerdem ist (2i)⁴ nicht 16i, sondern 16.

Außerdem fehlen in dem Ausdruck 1/1+16i Klammern. Oder meintest du wirklich ¹/₁ + 16i anstatt des nicht ganz so falschen ¹/_1+16i?

Wenn du diese Fehler behoben hast, dann bekommst du einen Ausdruck der Form 1/(p+qi). Um den in kartesische Form zu bringen greift man auf die Definition des Kehrwertes zurück:

Für den Kehrwert k einer Zahl z gilt z·k=1.

Es sei also (r+si) = 1/(p+qi). Dann muss (r+si)·(p+qi) = 1 gelten. Multipliziere die linke Seite dieser Gleichung aus und fasse zusammen. Der Realteil der linken Seite muss dann =1 sein und der Imaginärteil muss =0 sein. Dadurch bekommst du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (r und s).