Konvergenzradius einer Potenzreihe a_k

Question

Sei (a_k)_k∈Ν0 definiert durch:

a_k={  k2^-k , k ∈3N ; k²(-3)^k, k∈ 3N+1; k³(-1)^k, k∈3N+2.

Bestimmen sie den konvergenzradius der Potenzreihe

∑_{k=0 bis unendlich} a_k(x-x₀)^k

^{Wie soll man hier vorgehen?}

Answer 1

schau mal dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius

im 1. Beispiel

| an / an+1 | =  | k2^-k / (k+1)*2^-(k+1) | =  | k2^-k / (k+1)*2^-k-1 | =  Kürzen!

=| k/(k+1) * 1/ 2^-1  |   =  | k/(k+1) * 2 |  hat Grenzwert 2, also konv.rad=2   etc.

Comments

Die Seite habe ich mir schon durchgelesen, aber ich komme nicht weiter. Also wenn ich von den drei teilfolgen den Grenzwert bestimmt habe, wie mache ich dann weiter ? Sind alle drei Grenzwerte  der konvergenzradius?

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wenn der Grenzwert von | an / an+1 | für n gegen unendlich existiert, dann ist er der Konv.rad.

wenn nicht, gibt es auch noch andere Methoden.

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Ist der konvergenzradius nicht ein Intervall und nicht nur eine Zahl?

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Der Konvergenzradius ist eine nichtnegative Zahl.

Der zugehörige Konvergenzbereich ist innerhalb der reellen Zahlen ein Intervall, innerhalb der komplexen Zahlen eine Kreisscheibe (Daher vermutlich die Bezeichnung "Radius"). Beide haben das Zentrum bei xo.

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Achse ok das macht Sinn. Also wenn ich ein Intervall habe, dann ist das wahrscheinlich der konvergenzbereich und nicht der Radius.

Ich sitze jetzt grad am dritten Beispiel und komme da nicht auf den Grenzwert,kann da noch wer helfen?

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Und bei dem ersten Beispiel kommt bei mir als Grenzwert 0,5 raus und nicht zwei...

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Okay sorry kommt doch 2 raus

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im 3. Fall , wenn k aus 3N+2 ist, dann ist doch

| ak / ak+1 | = k³  /   (k+1)³   und da wäre für k gegen unendlich

der Grenzwert 1    oder?

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Das hab ich auch raus, war mir nicht so sicher

Weil ich dachte wenn man das quotientenkriterium anwendet, erhält man eine Aussage darüber ob die Reihe konvergiert oder nicht und nicht den Grenzwert, ich dachte den muss man noch extra berechnen

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Also ich hab jetzt den konvergenzradius von den drei teilfolgen bestimmt aber wie komme ich jetzt auf den konvergenzradius der potenzreihe.?

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Das ist das vermutlich das Minimum der 3

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Okay...aber warum?

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wie gesagt: "vermutlich".  Hab da auch keine Idee.