Quantorenschreibeweise verstehen und bewerten, ob richtig oder falsch

Question

1. ∃p, q ∈ Z ∀r ∈ Q: r = p / q .

Es existiert mindestens eine ganze Zahl p oder q für alle rationalen Zahlen r, sodass gilt r = p/q

2. ∀r ∈ R ∃q ∈ N: ∀s ∈ Z r + q > s

Für alle rationalen Zahlen r existiert mindestens eine natürliche Zahl q, sodass für alle ganzen Zahlen s gilt r+q ist größer als s

3. ∀Epsilon > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : 1 / n < Epsilon

Für alle Epsilon größer als 0 existiert mindestens eine natürliche Zahl N für alle n größer gleich N gilt 1/n ist kleiner Epsilon

4. ∀n ∈ N ∀r ∈ R ∃s ∈ Q ∃m ∈ Z : m = n. 

Für alle natürlichen Zahlen N und reellen Zahlen r existiert mindestens eine rationale Zahl s und ganze Zahl m, sodass gilt m = n

Z=ganze Zahlen

Q=Rationale Zahlen

R=Reelle Zahlen

N=Natüliche Zahlen

Ich verstehe einfach nicht, wieso diese Aussagen falsch sind. Ich komme mit dem "Übersetzen" einfach nicht klar.

Answer 1

1. ∃p, q ∈ Z ∀r ∈ Q: r = p / q . 

Es existieren mindestens eine ganze Zahl p und eine ganze Zahl q, so dass für alle rationalen Zahlen r gilt:  r = p/q

2. ∀r ∈ R ∃q ∈ N: ∀s ∈ Z r + q > s 

Für alle rationalen Zahlen r existiert mindestens eine natürliche Zahl q, so dass für alle ganzen Zahlen s gilt: r+q ist größer als s

3. ∀Epsilon > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : 1 / n < Epsilon 

Für alle Epsilon größer als 0 existiert mindestens eine natürliche Zahl N, so dass für alle n größer gleich N gilt: 1/n ist kleiner Epsilon

4. ∀n ∈ N ∀r ∈ R ∃s ∈ Q ∃m ∈ Z : m = n.  

Für alle natürlichen Zahlen N und alle reellen Zahlen r existiert mindestens eine rationale Zahl s und mindestens eine ganze Zahl m , sodass gilt : m = n

Gruß Wolfgang