Was genau sind Determinanten 2.Ordnung und welchen Sinn besitzen sie?

Question

also, soviel ich weiß sollen sie helfen zu klären, ob ein lineares Gleichungssystem lösbar ist und welche Lösungen es besitzt. Allerdings weiß ich nicht woran man denn wirklich erkennt, ob es lösbar ist. Was ist z.B. wenn ich eine Determinante von 33 habe. Was sagt diese Zahl aus? Wäre super, wenn mir das jemand an irgendeinem Beispiel mit einem linearen Gleichungssystem erklären könnte :).

Answer 1

eine D eterminante 2.Ordnung ist die Determinante einer Matrix zweiter Ordnung.

Sie ist definiert als  det( \(\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\) )  = a•d - b•c 

Wenn eine solche Matrix als Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungungssystems mit zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten auftritt, hat das System genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante ≠ 0 ist.

Gruß Wolfgang

Comments

Ok, Danke erstmal, dass heißt also wenn die Determinante identisch mit 0 ist, dann besitzt das System nicht eine einzige Lösung sondern zwei Lösungen oder wie kann man das verstehen?

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.....   sondern unendlich viele Lösungen oder keine Lösung

Answer 2

Die Determinante einer 2x2-Matrix \(A=(\mathfrak{a},\mathfrak{b})\) gibt in geometrischer Interpretation an:

1) Die orientierte Flaeche des von \(\mathfrak{a},\mathfrak{b}\) aufgespannten Parallelogramms. Positiver Wert, wenn \(\mathfrak{a},\mathfrak{b}\) ein Rechtssystem bildet, negativer sonst.

2) Mit ihrem Betrag, um welchen Faktor sich eine Flaeche \(F\) vergroessert/verkleinert, wenn man die Flaeche der zu \(A\) gehoerenden linearen Abbildung \(\mathfrak{x}\mapsto A\mathfrak{x}\) unterwirft. Das Vorzeichen sagt, ob die Bildflaeche \(A(F)\) die gleiche Orientierung hat (+) oder nicht (-).

Es folgt aus 1): \(\det(\mathfrak{a},\mathfrak{b})=0\,\,\Longleftrightarrow\,\,\text{$\mathfrak{a}$,$\mathfrak{b}$ sind linear abhaengig.}\)

Auf ein Gleichungssystem \(x\mathfrak{a}+y\mathfrak{b}=\mathfrak{c}\) bezogen: Genau dann, wenn \(\mathfrak{a},\mathfrak{b}\) linear unabhaengig sind, also eine Basis des \(\mathbb{R}^2\) bilden, laesst es sich stets eindeutig loesen. Das kann man eben durch Berechnen der Determinante feststellen. Drum heisst die auch so. Der tatsaechliche Wert spielt dabei keine Rolle mehr, nur noch, ob \(=0\) oder \(\ne0\).