Implizite Form einer Ebenengleichung

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabenstellung gegeben :

Aufgabe:

Bestimmen Sie die implizite Form der Ebenengleichung für die Ebenen, welche durch folgende Daten gegeben sind:
a) Normalvektor \( \quad \vec{n}=\left(\begin{array}{c}{5} \\ {-6} \\ {7}\end{array}\right) \quad \) und Ortsvektor \( \quad \vec{r}_{0}=\left(\begin{array}{c}{3} \\ {4} \\ {-2}\end{array}\right) \)
b) durch die drei Punkte in der Ebene mit Ortsvektoren
$$ \vec{r}_{1}=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {1} \end{array}\right), \quad \vec{r}_{2}=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right), \quad \vec{r}_{3}=\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \\ {2} \end{array}\right) $$ 

Zuerst haben wir notiert die Impliziete Form einer Ebene für ℝ^3

(r-r0)*n=0

bei a ) Wenn man in Die Formel einsetzt und auf r*n =r0*n umformt und ausrechnet ergibt sich bei mir 5x-6y+7z= -23.

bei b) Hat jemand einen Vorschlag für mich?

Answer 1

r1r2 = r2 - r1 = [1, 3, -2]

r1r3 = r3 -. r1 = [-3, 4, 1]

N = [1, 3, -2] x [-3, 4, 1] = [11, 5, 13]

E: X * [11, 5, 13] = [2, -1, 1] * [11, 5, 13] --> 11x + 5y + 13z = 30

Comments

Um den Normalenvektor auszurechnen verwende ich geschickter Weise das Kreuzprodukt. Leider verzichten darauf viele Lehrer dieses im Unterricht zu behandeln. 

Ansonsten einfach ein anderes Verfahren deiner Wahl anwenden.

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Danke für die Antwort !
Bei r1r2 zb wird einfach Spitze minus schaft gerechnet wie man so sagt?
Und zum Schluss bei der Ebenengleichung da wurde r1 eingesetzt , kann man das auch für r2 oder r3 machen?

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Beides richtig. 

Vektor AB = B - A oder wie du sagst Spize minus Anfang :)

Zum Schluss brauchst du einen Ortsvektor der Ebene. Dabei ist es Egal welchen du nimmst. Da sollte eh immer das gleiche heraus kommen.

Answer 2

du berechnest die Richtungsvektoren  

\(\vec{u}\) =  \(\vec{r_2}\)- \(\vec{r_1}\)

\(\vec{v}\) =   \(\vec{r_3}\) - \(\vec{r_1}\) 

der Ebene.

Deren Kreuzprodukt ist ein Normalenvektor  \(\vec{n}\)  der Ebene.

Gruß Wolfgang