Implizite in eine Explizite Form umwandeln

Question

Hey there,

Ich muss eine Tangenten- / Normalengleichung im Punkt P(2/0) für die Funktion 4x³ + 4xy + y² - 4 = 0  bestimmen.

Meine überlegung wäre die Gleichung in eine explizite Funktion umzuformen, wobei ich zu meinem Problem komme.

Habe soweit alles umgestellt, jedoch bin ich mir bei dem nächsten Schritt nun ziemlich unsicher..

4xy+y² = -4x³ +4

Da bin ich stehen geblieben. Ich hoffe ihr könnt mir helfen die Explizite Funktion heraus zu bekommen!

Comments

4·x^3 + 4·x·y + y^2 - 4 = 0

4·2^3 + 4·2·0 + 0^2 - 4 = 0

28 = 0

Dein Punkt (2 | 0) liegt gar nicht auf dem Graphen.

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"eine Tangenten- / Normalengleichung im Punkt P(2/0)"

Der Punkt P liegt nicht auf der Kurve, daher wäre die Formulierung "durch den Punkt P" meiner Meinung nach günstiger.

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Der Punkt B(0|2) liegt auf der Kurve. Hast du vielleicht die Koordinaten vertauscht?

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Ja er soll auch nicht auf dem Graphen sein.  Die Tangente soll einfach eine Tangente der Funktion sein UND durch diesen Punkt gehen.

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Oh mein Gott, ja habe ich

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Oh mein Gott, ja habe ich

Was? Die Koordinaten vertauscht?

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Ja ich hatte die Koordinaten vertauscht

Answer 1

Deine Kurve sieht so aus:

Da dürfte es schwierig sein, eine explizite Form zu finden.

Mit Wolframalpha finde ich:

\(y=2 (-x + \sqrt{1 + x^2 - x^3})\)

und

\(y=2 (-x - \sqrt{1 + x^2 - x^3})\)

Jetzt mein Versuch:

$$4x^3 + 4xy + y^2 - 4 = 0$$

$$y^2+ 4xy +(4x^3 - 4) = 0$$

$$ y= -2x\pm\sqrt{4x^2-(4x^3-4)}$$

$$ y= -2x\pm\sqrt{4(x^2-x^3+1)}$$

$$ y= -2x\pm2\sqrt{x^2-x^3+1}$$

Das sieht nach ein bisschen Ausklammern und Umstellen ja wie Wolframs Lösung aus.

War ja doch nicht so schwer.

:-)

PS: Nun musst du noch wissen, welcher Kurvenzweig durch welchen Term beschrieben wird.

Grün mit Pluszeichen,

Rot mit Minuszeichen vor der Wurzel

Nun noch mit Tangente und Normale im Punkt (0|2):

Comments

Oh.. Das ist schade.. Dann muss man wohl mit der impliziten Form weiterarbeiten..

Naja vielen Dank!

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Hallo Swizzie,

nicht so schnell aufgeben!

Vielleicht schaffen wir es ja.

:-)

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Da dürfte es schwierig sein, eine explizite Form zu finden.

aber nicht, wenn man seine p-q-Formel kennt.

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Oh mein gott... An die pq Formel zur Umstellung habe ich ja gar nicht gedacht..

Ich danke vielmals ! Den Rest sollte ich hinkriegen

Answer 2

Hallo,

man muss die implizite Funktion gar nicht mühselig zu einer expliziten umformen. Setze \(F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \, (x,y)\mapsto 4x^3+4xy+y^2-4\) und betrachte die Niveaumenge \(N_0=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : F(x,y)=0\}\). Du weißt, dass der Gradient \(\nabla F(x,y)=(F_x(x,y), F_y(x,y))^T\) senkrecht zur Niveaumenge steht.

Die Tangente an die durch \(F(x,y)=0\) beschriebene Kurve in \((0,2)\) ist gegeben durch \((x-0)\cdot F_x(0,2)+(y-2)F_y(0,2)=0\) also \(8x+4(y-2)=0\) und damit \(y_1=2-2x\).

Die Normalengleichung kriegst du dann einfach über den Zusammenhang, dass \(m_1\cdot m_2=-1\) gelten muss und damit \(m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\). Insgesamt also \(y_2=\frac{1}{2}x-2\)

Comments

Sehr schön! Allerdings geht aus der Fragestellung nicht hervor, welche Vorkenntnisse Swizzie hat.

:-)

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Es steht ihm/ihr frei, sich für den Weg, den er/sie besser versteht, zu entscheiden. Vielleicht kann er/sie meiner Antwort ja auch etwas abgewinnen - wer weiß!