Die Tangentialebene der durch \(F(x, y, z) = 0\) gegebenen Fläche an der Stelle \((x_0, y_0, z_0)\) ist durch \[\frac{\partial}{\partial x}F(x_0, y_0, z_0)\cdot (x - x_0) + \frac{\partial}{\partial y}F(x_0, y_0, z_0)\cdot (y - y_0) + \frac{\partial}{\partial z}F(x_0, y_0, z_0)\cdot (z - z_0) = 0\] gegeben.
Berechne also zunächst die partiellen Ableitungen von \(F\) und stelle die Tangentialebene in der Form \[\frac{\partial}{\partial x}F(x_0, y_0, z_0)\cdot (x - x_0) + \frac{\partial}{\partial y}F(x_0, y_0, z_0)\cdot (y - y_0) + \frac{\partial}{\partial z}F(x_0, y_0, z_0)\cdot (z - z_0) = 0\] auf. Anschließend kannst du die Ebenengleichung in die gewünschte Form \[a x+b y+c z=170\] umformen.
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\(F(x, y, z) = 4 x^3 + 2y^3 + 5 z^4 - 30\)
\(\frac{\partial}{\partial x}F(x, y, z) = 12 x^2\)
\(\frac{\partial}{\partial y}F(x, y, z) = 6 y^2\)
\(\frac{\partial}{\partial z}F(x, y, z) = 20 z^3\)
\(\frac{\partial}{\partial x}F(1, -3, -2) = 12\cdot 1^2 = 12\)
\(\frac{\partial}{\partial y}F(1, -3, -2) = 6\cdot (-3)^2 = 54\)
\(\frac{\partial}{\partial x}F(1, -3, -2) = 20\cdot (-2)^3 = -160\)
Demnach erhält man für die gesuchte Tangetialebene ...
\(12\cdot (x - 1) + 54\cdot (y - (-3))+(-160)\cdot (z - (-2)) = 0\)
\(12\cdot (x - 1) + 54\cdot (y + 3)-160\cdot (z +2) = 0\)
\(12 x - 12 + 54 y + 162 - 160 z - 320 = 0\)
\(12 x + 54 y - 160 z - 170 = 0\)
\(12 x + 54 y - 160 z = 170\)
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