Berechnung einer Tangentialebene an zwei Kugeln

Question

Gegeben sind 2 Kugeln:

M₁=(4/4/4), R₁=2

M₂=(4/4/-4), R₂=3

Gesucht: Tangentialebene(n), die durch den Ursprung (0/0/0) gehen UND beide Kugeln tangieren? Davon sollte es 4 geben.

Wie berechnet man diese Ebenengleichung analytisch?

Answer 1

Ich würde da wohl mit der Hesse - Abstandsformel arbeiten. Die gesuchten Ebenengleichungen haben ja die Form        a x + b y + c z = 0

Hesse - normiert:    (a x + b y + c z) / √(a² + b² + c²) = 0

Nun soll der erste Kugelmittelpunkt  (4|4|4)  von dieser Ebene den Abstand d = 2  haben, also muss gelten:

(4 a + 4 b + 4 c) / √(a² + b² + c²) = 2  oder  ( 4 a + 4 b + 4 c) / √(a² + b² + c²) = -2

Aus der Berührbedingung der zweiten Kugel erhält man eine weiteres derartiges Alternativ-Gleichungspaar. Insgesamt führt dies dann zu genau 4 Auswahlvarianten, welche auf die 4 Tangentialebenen führen. Dabei ist noch zu beachten, dass man noch eine freie Wahl hat, denn das Tripel (a,b,c), das eine Ebene festlegt, ist nur bis auf Vielfache bestimmt. Man könnte also (zum Beispiel) noch verlangen, dass  a² + b² + c² = 1  sein soll .