Gewinn maximieren. Preisnachfragefunktion N(p)=( 250000/p) - 10000 Mengeneinheiten

Question

Eine Firma stellt einfacher Speicher-Sticks her. Die Herstellungskosten Betragen 4 Euro pro Stück. Die Firma kalkuliert, dass sie bei einem Verkaufspreis p etwa N (p)=( 250000/p) - 10000 Mengeneinheiten verkaufen wird. Der Gewinn der Firma ist die Differenz aus der Einnahme und den Kosten der Herstellung. Berechnen sie, bei welchem Verkaufspreis p der Gewinn def Firma am größten sein wird.

Comments

Meinst du eventuell?

Der Gewinn der Firma ist die Differenz aus der Einnahme und den Kosten der Herstellung.

Erledigt.

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Ja, genau! :o hab mich vertan !

Answer 1

Die Firma wird bei einem Preis von p etwa N(p) Einheiten verkaufen und damit

N(p)*p einnehmen.
Für jeden dieser verkauften Sticks muss sie 4 Euro zahlen, also betragen die Kosten

N(p)*4.

Der Gewinn g(p) berechnet sich aus der Differenz der Einnahmen und der Kosten:

g(p) = N(p)*p - N(p)*4

Wir können N(p) ausklammern und erhalten als Gewinnfunktion

g(p) = N(p)*(p-4) = (250000/p - 10000)*(p-4)

Ausmultiplizieren ergibt

g(p) = 250000-10000p-1000000/p+40000 = -10000p-1000000/p+210000=-10000p-1000000*p^{-1}+210000

Da wir das Maximum suchen, muss die erste Ableitung = 0 sein

g'(p)=-10000+1000000*p^{-2}=0, also 1000000*p^{-2}=10000

Da p^{-2} = 1/p^2 ist, können wir beide Seiten mit p^2 multiplizieren und erhalten

1000000=10000p^2

1000000/10000=100=p^2

Wir ziehen die Wurzel und erhalten als bestmöglichen Preis p = 10 Euro

Comments

Vielen lieben Dank für die Mühe (-: hatte es bis zur Ableitung nur fiehl es mir dann schwer die Ableitung nach p aufzulösen !

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Gern geschehen, ich fürchte allerdings, ich habe irgendwo einen Vorzeichenfehler :-(

Allerdings sollte die Lösung stimmen, denn wenn man für p = 9 oder 11 eingibt, fällt der Gewinn geringer aus :-)

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Nene, stimmt schon! Hab es soweit auch genauso gehabt (-: Und die Zahl an sich ist ja glatt :D