Umfang und Flächeninhalt eines Kreisteils

Question

Hallo !! :)                                                                                                                                                                                           Ich soll bei dieser Aufgabe den Umfang und den Flächeninhalt von dem dunklen Teil dieses Kreises berechen. Dass es sich hier um einen Viertelkreis handelt, habe ich erkannt, aber wie berechnet man die dunkle Stelle ??Vielen Dank für die Hilfe !!

Answer 1

Erst mal die hellen Teile ausrechnen:

oben links :  großes Quadrat - Viertelkreisgibt 36 - 9pi

das rechte in drei Teile unterteilen: ein ganzes Quadrat und zwei

Teile, die jeweils kleines Quadrat - kleiner Viertelkreis sind.

Dann das ganze Quadrat minus die hellen Flächen.

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Was ich noch nicht ganz verstehe : Das untere linke und das oben rechte Quadrat ist ja dasselbe. Um an den Flächeninhalt zu kommen, soll die Formel verwendet werden, um einen Viertelkreis ausrechenen zu können. Allerdings ist ja nicht der komplette Viertelkreis gesucht, sondern nur die dunkle Stelle. Über und unter der dunklen Stelle sind ja noch helle Stellen. Ich hoffe meine Frage ist verständlich...

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Ja ich verstehe was du meinst. Man berechnet die gesamte dunkle Fläche indem man von dem großen Quadrat (6x6) alle hellen Flächen abzieht. Die helle Fläche oberhalb der dunklen Fläche im rechten oberen Quadrat hat man bereits in dem erst Schritt berechnet (36 - 9pi). Diese helle Fläche brauchst du nicht nochmal berücksichtigen. Jetzt musst du noch ein ganzes helles Quadrat (unten rechtes) und zweimal ein kleines Quadrat minus einen Viertelkreis dazurechnen (links unten und rechts oben) und man zieht das ganze von dem großen Quadrat ab (6x6).

Answer 2

Zum Umfang:

Der Umfang eines Kreises mit Radius r misst u = 2πr.

Nun hast du  (1 Viertelkeis mit Radius 6) + (2 Viertelkreise mit Radius 3).

u = 1/4 * 2π*6 + 2* 1/4 * 2π * 3 = 3π + 3π = 6π

Anhand der Berechnung siehst du übrigens, dass die beiden kleineren Bogen zusammen genau gleich lang sind wie der grössere Bogen.

Answer 3

wenn du eine Diagonale d von links unten nach rechts oben ziehst, hast du oberhalb von d einen großen und unterhalb von d zwei kleine Kreisabschnitte.

Die Fläche kann bei jedem dieser Kreisabschnitte als Differenz

von einem Viertelkreis - ein halbes Quadrat berechnet werden:

A = 1/4 • π • r² -  1/2 • a²  ,

r und a sind einmal beide gleich 6 und einmal beide gleich 3

Großer Kreisabschnitt:         A  =  1/4 • π • 6²  -  1/2 • 6²   ≈  10,27

2 kleine Kreisabschnitte:     A   =  2 • [  1/4 • π • 3² - 1/2 • 3² ]  ≈ 5,14

→ gesamte dunkle Fläche ≈ 15,41 Flächeneinheiten  [cm² ?]

Gruß + frohe Weihnachten

Wolfgang

Answer 4

und gesegnete Weihnachten!

Ich habe hier mal versucht, ausschließlich mit Überlagerungen von Quadraten und Viertelkreisen auszukommen:$$ \begin{aligned} A &= \pi\cdot6^2\cdot\frac14-\left(3^2-\pi\cdot3^2\cdot\frac14\right)\cdot2-3^2\\\\   &= 9\cdot\pi-18+\frac92\cdot\pi-9\\\\   &= \frac{27}{2}\cdot\pi-27\\\\   &= 13.5\cdot\left(\pi-2\right)\\\\   &\approx 15.4115 \end{aligned} $$Dies bestätigt Wolfgangs Ergebnis. Nun würde mich interessieren, ob es noch einfachere Wege gibt...