Wie bestimme ich diese Funktionsgleichung? (Parabel, Wiederholung abi)

Question

Abgebildet ist eine Parabel, nach unten geöffnet. Sie "beginnt" beim Koordinatenursprung, hat ihren Scheitelpunkt bei x=1 und y=2, und "endet" bei 2/0. Die Aufgabenstellung lautet: Bestimmen Sie zunächst die Gleichung der quadratischen Parabel und anschließend den Inhalt A der markierten Fläche. 

Mir ist jett nicht so klar, wie ich vorgehen soll, klar, ich weiß, dass ich die gegebenen Punkte in f(x)=ax^{2}+bx+c einsetzten muss, aber warum komme ich bei der 2.Nullstelle auf 2=0?!

Answer 1

mit

$$ y(x):ax^2+bx+c $$
muss wegen Deiner Angaben folgendes gelten
$$ (1) \quad y(1)=2 $$
$$ (2) \quad y'(1) = 0 $$
$$ (3) \quad y(2) = 0 $$
aus den drei Gleichungen kann man \( a,b \) und \( c \) berechnen und bekommt \( a = -2 \), \( b = 4 \) und \( c = 0 \) heraus.
Der Graph sieht folgendermaßen aus

Comments

ehm da stimmt aber was bei dem graphen nicht..der ist im positiven bereich im 1.quadranten und geht bis 2 hoch und auch in der breite bis 2
aber egal, wie bist du auf die idee gekommen, die erste ableitung zu verwenden?weil ich hab das ja nicht gemacht

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issu3d: Betrachte die gezeichnete Parabel über dem Intervall [0,2]. Das ist das, was du beschreiben hast (allerdings ziemlich klein gezeichnet).

Answer 2

Sie "beginnt" beim Koordinatenursprung,
hat ihren Scheitelpunkt bei x=1 und y=2, und "endet" bei 2/0

aber warum komme ich bei der 2.Nullstelle auf 2=0?!

Diese ist dir doch vorgegeben oder?

Ohne 1.Ableitung

f ( 0 ) = 0
f ( 1 ) = 2
f ( 2 ) = 0

f ( x ) = a * x^2 + b * x + c
f ( 0 ) = a * 0^2 + b * 0 + c = 0  => c = 0

f ( x ) = a * x^2 + b * x

f ( 1 ) = a * 1^2 + b * 1  = 2
f ( 2 ) = a * 2^2 + b * 2  = 0

a + b = 2  => b = 2 - a
4a + 2b = 0
4a +2*( 2 - a ) = 0
4a + 4 - 2a = 0
a = -2

a + b = 2
-2 + b = 2
b = 4

Answer 3

"beginnt" beim Koordinatenursprung, hat ihren Scheitelpunkt bei x=1 und y=2, und "endet" bei 2/0

Benutze die altbekannte Scheitelpunktform von Parabelgleichungen.

y = a(x-1)^2 + 2

Setze nun EINEN weiteren bekannten Punkt ein P(0|0)

0 = a*(0-1)^2 + 2

0 = a*1 + 2

==> a = -2

Nun hast du

y = -2(x-1)^2 + 2

y = -2(x^2 -2x + 1) + 2 = -2x^2 + 4x - 2 + 2 = - 2x^2 + 4x.

Wenn du allerdings inzwischen ableiten kannst, ist der Weg von ullim naheliegender. Damit die Funktion an den richtigen Stellen aufhört, musst du einfach noch dazuschreiben.

Definitionsbereich D = [0,2]

und

f(x) = - 2x^2 + 4x für 0≤x≤2.