Partielle Integration von f(x) = x ln(x)

Question

1. Kann man die Konstante C weglassen?

2. Was wird in der 3. Zeile gemacht? Wie kommt man auf .... -x²/4 + C ?

3. Wann muss ich nicht mehr partiell integrieren? Wann kann ich aufhören?

4. Wie wird in der  Probe wieder abgeleitet? Mit der Produktregel?

\( \int x \ln x \,d x \)

\( \int x \ln x \mathrm{d} x=\frac{x^{2}}{2} \ln x-\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} \mathrm{d} x=\frac{x^{2}}{2} \ln x-\int \frac{x}{2} \mathrm{d} x \)

\( =\frac{x^{2}}{2} \ln x-\frac{x^{2}}{4}+C \)

mit \( f^{\prime}(x)=x, f(x)=\frac{x^{2}}{2}, g(x)=\ln x, g^{\prime}(x)=\frac{1}{x} \)

Probe: \( \left(\frac{x^{2}}{2} \ln x-\frac{x^{2}}{4}\right)=x \ln x+\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x}-\frac{x}{2}=x \ln x \)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Partielle Integration Verständnisprobleme

Stichworte: integration,partielle,integral,sinus

In dem 1. roten Kasten wird für ∫ x/2 dx  der Stammfunktionsterm  x²/4 des Integranden x/2 eingesetzt.

Das heißt, der Term nach dem Integralsymbol ist noch keine Stammfunktion, sondern muss erst gebildet werden?

Du kannst aufhören, wenn du einen "integralfreien"  Term errechnet hast.

Was heißt das genau? Wenn kein Produkt mehhr im Integral enthalten ist und man die Funktion leicht integrieren kann?

Answer 1

1)  Die Konstante C gehört beim unbestimmten Integral (ohne Grenzen) dazu und kann nicht weggelassen werden, weil dieses Integral die Menge aller Stammfunktionsterme des Integranden (= Term im Integral) bedeutet, und da gibt es eben unendlich viele.

2) In dem 1. roten Kasten wird für ∫ x/2 dx  der Stammfunktionsterm  x²/4 des Integranden x/2 eingesetzt.

In dem zweiten roten Kasten wird als Probe das Ergebnis im 1.rK abgeleitet, weil dieses ein Stammfunktionsterm  von  x • ln(x) sein muss.

3) Du kannst aufhören, wenn du einen "integralfreien"  Term errechnet hast.

4) Bei der Probe wird summandenweise abgeleitet. Beim 1. Summanden  x²/2 • ln(x)

 wird die Produktregel angewendet.

Comments

1)  Die Konstante C gehört beim unbestimmten Integral (ohne Grenzen) dazu und kann nicht weggelassen werden.

Recht beliebt ist folgende Definition: $$F(x)=\int f(x)\,dx\quad:\Longleftrightarrow\quad F'(x)=f(x).$$ Das ist meine Lieblingsdefinition, denn man braucht dann keine Integrationskonstante zu schreiben.

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Bei der partiellen Integration unbestimmter Integrale soll aber ein integralfreier Term F(x)= .... berechnet werden. Und da ist die Konstante nun mal nicht zu vermeiden.

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Hmm??

Das Ergebnis schreibt sich gemaess obiger Konvention als $$\int x\ln x\, dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4},$$ also ohne Integrationskonstante, wenn man keine schreiben mag.

Der Sinn obiger Definition ist es, sich das droege \({}+C\) sparen zu koennen. Wobei man es auch hinschreiben kann, wenn man mag, oder es konkret braucht.

Da der Fragesteller Schueler ist, fragt er besser seinen Lehrer, ob er diese Konvention verwenden darf, oder ob es dafuer automatisch Punktabzug gibt.

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Was du erzählst ergibt für mich keinen tieferen Sinn, deshalb beende ich ich hier von meiner Seite die Diskussion.

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In dem 1. roten Kasten wird für ∫ x/2 dx  der Stammfunktionsterm  x²/4 des Integranden x/2 eingesetzt.

Das heißt, der Term nach dem Integralsymbol ist noch keine Stammfunktion, sondern muss erst gebildet werden?

Du kannst aufhören, wenn du einen "integralfreien"  Term errechnet hast.

Was heißt das genau? Wenn kein Produkt mehhr im Integral enthalten ist und man die Funktion leicht integrieren kann?

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ja, wenn du das "hintere" Integral in der Formel der partiellen Integration endlich ausrechnen kannst.

Es kann nämlich sein, dass man mehrfach partiell integrieren muss, bevor das möglich ist.

Bei f(x) = x³ • e^x zum Beispiel dreimal.

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Vielen Dank für deine Hilfe.

Kann ich dir hier irgendwie Punkte oder einen Daumen hoch für deine Antworten geben?

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Ich glaube, du kannst auf einen Stern für "beste Antwort" und auf den Daumen klicken.

(Hab das noch nie gemacht, weil ich keine Fragen stelle :-)

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Ich hätte noch eine Frage zu einer weiteren Aufgabe.

Hier ist mein bisheriger Lösungsweg:

Die Musterlösung:

 

Was habe ich falsch gemacht bzw, wie komme ich doch noch auf das richtige Ergebnis?

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die Ableitung  v'(x)  = [ cos²(x) ] ' =   -  2 cos(x) • sin(x)

und was ist mit dem Itegral, das du überhaupt noch nicht ausgerechnet hast?

Ansatz:  u = cos(x) , v ' = cos(x)

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Also bis hierhin verstehe ich das. Jetzt muss ich die Partielle Integration nochmal anwenden.

Habe ich u'=1 und v=-cos²(x) richtig gewählt?

In der Musterlösung steht dannach: Wie kommt man darauf? Verstehe den Schritt nicht. Die 1 wird zu 1x integriert aber warum darf man das x vor das Integral ziehen?

sin x * cos x + x - ∫ cos²(x) dx

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Die Musterlösung benutzt den sinnvolleren Ansatz:

u = cos(x) , v ' = cos(x)   →   u' = - sin(x) , v = sin(x) 

Im Integral wir dann einfach sin²(x)  durch  1 - cos²(x)   ersetzt  [bekannte Formel]

∫ (1 - cos²(x)) dx = x -  ∫ cos²(x) dx

Das letzte Integral wird dann mit + auf die linke Seite gebracht,.

Dann hat man dort   2 • ∫ cos²(x) dx  =  ....      und dividiert die ganze Gleichung durch 2

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∫ (1 - cos²(x)) dx = x - cos²(x)

Warum ergibt  ∫ (1 - cos²(x)) dx aufgeleitet gleich  x - cos²(x) ? Das cos²(x) muss doch auch noch aufgeleitet werden.

Und warum darf man die 1 einfach so integrieren (1x) und links vom Integral Zeichen stehen lassen?

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Warum ergibt  ∫ (1 - cos²(x)) dx aufgeleitet gleich  x - cos²(x) ?

Schreibfehler von mir:

∫ (1 - cos²(x)) dx  =  x  -  ∫   cos²(x)  dx ?

habs oben korrigiert

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Das letzte Integral wird dann mit + auf die linke Seite gebracht,.

Dann hat man dort   2 • ∫ cos²(x) dx  =  ....      und dividiert die ganze Gleichung durch 2

Diesen Schritt verstehe ich noch nicht ganz. Von wo taucht auf einmal die 2 auf?

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Ich wil nicht nerven, aber könnte bitte jemand die Frage über diesen Kommentar beantworten?
Wäre euch sehr dankbar

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I = T -  I          |  + I

(I ist das Integral ; DAS LINKS UND RECHTS VORKOMMT !!  T der Restterm. davor.)

2• I  = T          | : 2

I = 1/2 • T

und jetzt fängst du bitte mal an zu überlegen.

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Ich stehe gerade auf dem Schlauch.
Ich komme einfach nicht auf die Lösung :(