Beweisen Sie mit der Produktregel die Regel der partiellen Integration

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mittels der Produktregel die Regel der partiellen Integration: Für stetig
differenzierbare Funktionen f, g: [a, b] → ℝ gilt (Integrale von a nach b)

∫ f(x)g'(x)dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - ∫ g(x)f'(x)dx

Answer 1

Aloha :)

$$\left(u(x)\cdot v(x)\right)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\quad\implies$$$$\int\limits_a^b\left(u(x)\cdot v(x)\right)'\,dx=\int\limits_a^bu'(x)\cdot v(x)\,dx+\int\limits_a^bu(x)\cdot v'(x)\,dx\quad\implies$$$$\left[u(x)\cdot v(x)\right]_a^b=\int\limits_a^bu'(x)\cdot v(x)\,dx+\int\limits_a^bu(x)\cdot v'(x)\,dx\quad\implies$$$$u(b)\cdot v(b)-u(a)\cdot v(a)=\int\limits_a^bu'(x)\cdot v(x)\,dx+\int\limits_a^bu(x)\cdot v'(x)\,dx\quad\implies$$$$\int\limits_a^bu(x)\cdot v'(x)\,dx=u(b)\cdot v(b)-u(a)\cdot v(a)-\int\limits_a^bu'(x)\cdot v(x)\,dx$$