Lipschitz-stetigkeit und Lipschitzkonstante

Question

Hallo...

Ich soll zeigen das die Funktion f(x)=x²+4 auf den Intervall [a,b] lipschitz-stetig ist und die Lipschitzkonstante bestimmen.

Nun hab ich auch eine Lösung zu dem Beispiel nur ist die etwas kurz bemessen und ich versteh leider nicht wie ich zu dem Ergebnis komme.

Ιf(x)-f(y)Ι=Ιx²-y²Ι≤2{max ΙaΙ, ΙbΙ} Ιx-yΙ und damit ist dann L=2

Ich versteh die allgemeine Formel und hab ich auch schon Videos dazu angesehen nur verstehe ich nicht wie man auf das Ergebnis kommt! Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Danke schon mal im voraus!

Answer 1

f : [a;b] → ℝ  ,  f(x) = x² + 4

f ist Lipschitz-stetig, wenn es eine Konstante L∈ℝ  gibt, so dass für alle x₁ , x₂ ∈ [a;b]  gilt

| f(x₁) - f(x₂) |  ≤  L • | x₁ - x₂ |  [#]

Es gilt:

| f(x₁) - f(x₂) | = | x₁² + 4 - (x₂² + 4) | = | x₁²  -  x₂² |

= | (x₁ + x₂) • (x₁ - x₂) |

= | x₁ + x₂ | • | x₁ - x₂ |      [ wegen |a • b| = |a| • |b| für alle a,b∈ℝ ]

 ≤    M  • | x₁ - x₂ |      , wobei M = Maximum von | x₁ + x₂ |   für x₁,x₂ ∈ [a;b] ist

=  | max(|a|,|b|) + max(|a|,|b|) |  • | x₁ - x₂ |

= 2 • max(|a|,|b|) • | x₁ - x₂ |   

Mit  L = 2 • max(|a|,|b|)  ist die Bedingung [#] also erfüllt.

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang...

das hilft mir schon mal weiter nur verstehe ich nicht wie du auf Ιa•bΙ kommst und wieso du das dann gleich 2 mal hast. Die Schritte davor sind mir alle klar nur sobald mein Intervall [a,b] gebraucht wird komm ich nicht mehr weiter. Hoffe du kannst mir helfen!

Lg

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Betrachte mal die Intervalle [3,4] , [-4,-3] , und [-3,4] .

mach dir klar, das für x₁ und x₂ in diesen Intervallen

der Betrag der Summe ≤ dem doppelten Betrag des Maximums der Intervallgrenzen ist  (jeweils 2*4=8)

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Versteh ich das dann richtig das ΙaΙ•ΙbΙ der höchste Wert ist den das Intervall annehmen kann und durch x₁₊x₂ wird es zu 2• den Maximum oder bring ich da was durcheinander?In deinem Beispiel wäre immer die 4 die Betragsmäßig höchste Zahl und da ich bei mir nicht weiß ob a oder b größer ist, nehme ich das Maximum was der Intervall erreichen kann. Stimmt das so weit?

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mit |a| • |b| hat das nichts zu tun.

Versuch doch mal in einem der beiden oben angegebenen Beispielintervalle  mit zwei x-Werten eine Summe zu bilden, deren Betrag größer ist als  2 • | ±4| = 8 = 2 • max( |a| , |b| )

Answer 2

Jede stetige Funktion nimmt auf einem kompakten Intervall ihr Maximum und ihr Minimum an; du teilst einfach DELTA ( y ) durch DELTA ( x )