Partielle Integration mit ln(x)

Question

Folgende Aufgabe soll partiell integriert werden:

Text erkannt:

\( \int x \cdot(1+\ln x) d x \)

Mein Ergebnis weicht jedoch von der Musterlösung ab:

Musterlösung:

x^2 (2 · ln(x) + 1) / 4 + C

Wo liegt der Fehler?

Answer 1

Hallo,

∫ x/2 dx= x^2/4 +C

dann wird alles gut , davor das stimmt alles.

Comments

Woher kommt die 4?

Und die Musterlösung ist doch immer noch unterschiedlich?

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∫ x/2 dx= 1/2 ∫ x dx=1/2 *x^2/2 +C = x^2/4+C

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Du teilst beim Integrieren durch den neuen Exponenten:

y = x/2 = 1/2 * x

Y = 1/2 * 1/2 * x^2 = 1/4 * x^2

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Und die Musterlösung ist doch immer noch unterschiedlich?

nein

Answer 2

\(\int x \cdot(1+\ln x) d x \)

u´=x   u=\( \frac{x^2}{2} \)

v=1+ln(x)    v´=\( \frac{1}{x} \)

\(\int x \cdot(1+\ln x) d x \)=\( \frac{x^2}{2} \)*(1+ln(x))-\( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{x^2}{2} \)*\( \frac{1}{x} \)*dx=

=\( \frac{x^2}{2} \)*(1+ln(x)) - \( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{x}{2} \)*dx=

=\( \frac{x^2}{2} \)*(1+ln(x)) - \( \frac{x^2}{4} \) +C=

=  \( \frac{x^2}{2} \)+\( \frac{x^2}{2} \)*lnx - \( \frac{x^2}{4} \) +C

=  \( \frac{x^2}{4} \)+\( \frac{x^2}{2} \)*lnx +C

Answer 3

∫ x·(1 + LN(x)) dx

= 1/2·x^2·(1 + LN(x)) - ∫ 1/2·x^2·1/x dx

= 1/2·x^2·(1 + LN(x)) - ∫ 1/2·x dx

= 1/2·x^2·(1 + LN(x)) - 1/4·x^2 + C

Das sollte in etwa der Musterlösung entsprechen.