Ableitung berechnen von f(x) = ln(sinx) - x cot(x)

Question

ich habe versucht die Funktion mit der Summenformel abzuleiten-

Also habe ich beide Terme, also links und rechts vom minus jeweils mit der Produktregel abgeleitet-.

Ich komme damit allerdings nicht auf die vorgegebene Lösung.

Vor allem kann ich nicht nachvollziehen warum die Ableitung von ln(sinx) = (cosx)/(sinx) ist??

bin für jede Hilfe dankbar.

Comments

ln(sinx) sind 2 verkettete funktionen abgeleitet 1/sinx und cosx

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kannst statt cot auch 1/tan schreiben wenns dir hilft

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Hallo danke erstmal...

ich konnte alles bis auf eines nachvollziehen-

Die letzte Antwort von Wolfgang.

Zitat

mit  [ cot(x) ] '  = -1 / sin²(x)  =  - (sin²(x) + cos²(x)) / sin²(x)  =  -1 - cot²(x)   ist der Rest reines Rechnen mit Klammern.

Zitat Ende

1= sin²x + cos²x  verstehe ich.

Aber nicht die letzte umwandlung. Welcher gedanke steht dahinter?

Wieso ist es am Ende - 1 - cot²(x) 

Answer 1

Vor allem kann ich nicht nachvollziehen warum die Ableitung von ln(sinx) = (cosx)/(sinx) ist??

Ist vielleicht kein Produkt?

Comments

Es wurde Kettenregel verwendet, ln ist abgeleitet 1/sin(x) und danach noch sin(x) nachdifferenziert was dem cos(x) entspricht

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Danke, ich weiß wie man die genannte Funktion ableitet. Der Fragesteller berichtete jedoch, er hätte es mit der Produktregel versucht und käme so nicht auf das mitgeteilte Ergebnis.

Answer 2

y = LN(SIN(x))

y = LN(z) mit z = SIN(x) und z' =COS(x)

Kettenregel: Äußere Ableitung mal Innere Ableitung

y' = 1/z * z' = 1/SIN(x) * COS(x) = COS(x) / SIN(x) = COT(x)

Comments

y = COT(x) = COS(x) / SIN(x)

Ableitung über Quotientenregel

y' = (- SIN(x)·SIN(x) - COS(x)·COS(x))/SIN(x)^2 = -1/SIN(x)^2

Answer 3

Kettenregel in Kurzfassung:  [ f(u) ] ' = f ' (u) • u'

mit f = ln  und u = sin(x)   →  ln(sin(x)) = 1/sin(x) • cosx = cot(x)

mit  [ cot(x) ] '  = -1 / sin²(x)  =  - (sin²(x) + cos²(x)) / sin²(x)  =  -1 - cot²(x)   ist der Rest reines Rechnen mit Klammern.

Gruß Wolfgang