Bestimmen Sie den Scheitel der zu f gehörigen Parabel und die Öffnungsrichtung: a) f(x) = x²+4x

Question

f(x) = x² + 4x

Diese Aufgabe muss mit einer Binomischen Formel berechnet werden, wäre jemand bitte so lieb und würde mir einen ausführlichen Lösungsweg hinschreiben?

Answer 1

Der Scheitelpunkt einer Parabel liegt der Mitte der beiden Nullstellen

f(x) = x² + 4x
x^2 + 4x = 0
x * ( x + 4 ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
x = 0
und
x + 4 = 0
x = -4

Der Scheitelpunkt liegt bei x = -2
f ( -2 ) = (-2)^2 + 4 *(-2) = -4
S ( -2 | -4 )

Wenn es unbedingt eine binomische Formel sein muß geht auch
x² + 4x = 0
x^2 + 4*x + 2^2 = 2^2
( x + 2)^2 = 4  | 1.binomische Formel, dann Wurzelziehen
x + 2 = ± 2
x = 0 und x = --4
( weiter siehe oben )

Comments

Der Scheitelpunkt einer Parabel liegt der Mitte der beiden Nullstellen

Falls es welche gibt!

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Du sagst mir damit nichts Neues.

Answer 2

f(x) = x² + 4x 

Sx = -b/(2a) = -4/2*1 = -2

Sy = f(-2) = -4 --> S(-2 | -4)

Jetzt über quadratische Ergänzung

f(x) = x^2 + 4x

f(x) = x^2 + 4x + 4 - 4

f(x) = (x + 2)^2 - 4 --> S(-2 | -4)

Es handelt sich um eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel.

Answer 3

  Gar nix " muss " Ich bringe dir jetzt zwei Verfahren Marke Eigenbau bei.

  1) die Normalform - hast du.




    f  (  x  )  =  x  ²  -  p  x  +  q         (  1a  )

          p  =  (  -  4  )  ;  q  =  0     (  1b  )

          x0  =  p / 2  =  (  -  2  )      (  1c  )

   Wie komme ich darauf? Siehe Satz von Vieta

       p  =  x1  +  x2      (  1d  )

      Der Scheitel liegt immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen; das wisst ihr alle.

   2) Das von mir entwickelte " Fortschmeißverfahren " ; es würde an sich daraus bestehen, dass du das Absolutglied weg schmeißt - ist hier bereits geschehen. Die Nullstellen

    f  (  x  )  =  x  (  x  +  4  )     (  2a  )

   x1  =  (  -  4  )     (  2b  )

  x2  =  0     (  2c  )

   Abermals bestätigt sich die Mittelwertbeziehung  ( 1cd )

   Übrigens; wenn du glaubst, du verstehst nur 40 % von dem Unterricht. Und dun hechelst deinem Lehrer hinterher wie ein Schwanz wedelnder Dackel, indem du alles nach kläffst, was du seiner Meinung nach tun  " sollst " Auf dem Weg wirst du nie besser und wirst nie aufhören, uns anzubaggern, wir sollen dir deine Arbeit machen.

   Meine Mitarbeit kann überhaupt nur den Sinn haben, dir Alternativen aufzuzeigen, die dir dein Lehrer systematisch verschweigt.

   y0 bekommst du einfach, indem du den scheitel x0 in die Polynomgleichung einsetzt; a2 = 1 in deinem Fall, weil wir ja Normalform haben. Noch Fragen? Ach - beherrschst du das Hornerschema? Können alle Kopfrechner.

Comments

Ja, du hast das recht, ich mag Mathe sehr, aber mit dem seinem Fachchinesisch was der im Unterricht zeigt, bin ich wirklich überfordert. Lineare sowie Quadratische gleichungen sind für mich peinlicherweise neuland, weswegen ich mich an die Binomische Formeln halten wollte .. das es auch mit zahlreichen anderen methoden zum richtigen ergebnis geht, ist mir bewusst. Aber das ist wie beim Auto fahren, du musst dich in der stadt richtig auskennen um einen anderen weg fahren zu können, wenn du meisnt dass das Navi dir eine scheiss Route vorgibt. Ich brauche in der Regel länger als andere Personen um in Mathe etwas zu lernen, wenn es jedoch einmal "klick" macht bei mir, schaltet sich bei mir der Turbo ein.

Answer 4

Die Scheitelform einer beliebigen quadratischen Funktion mit Streckfaktor \(a\ne0\) und Scheitel \(S\left(x_s|y_s\right)\) lautet:

$$ y = a\cdot\left(x-x_s\right)^2 + y_s $$

Die gegebene Funktion besitzt den Streckfaktor \(a=1\), ist also nach oben offen und kongruent zur Normalparabel. Ihr Funktionsterm kann durch quadratisches Ergänzen und anschließendes Anwenden der ersten binomischen Formel in Scheitelform gebracht werden:

$$ f(x) = x^2 + 4\cdot x = x^2 + 4\cdot x+2^2 - 4 = \left(x + 2\right)^2 - 4 $$

Die quadratische Ergänzung \(+\left(\frac42\right)^2=+2^2\) ergänzt dabei die ersten beiden Summanden so, dass im zweiten Schritt die erste binomische Formel auf die ersten drei Summanden angewendet werden kann. Der Summand \(-4\) korrigiert die vorgenommene Manipulation.

Nun kann der Scheitel \(S\left(-2|-4\right)\) abgelesen werden.