Aufgabe 1.3 zur Kurvendiskussion: f(x) = 6e^{-x} ( e^{-x} – 1)

Question

Aufgabe:

1. Gegeben sind die Funktionen \( f_{n}(x)=6 e^{-x}\left(e^{-x}-a\right) \quad a \in R^{+} \)

1.1 Berechne von den zugehörigen Graphen \( \mathrm{G}_{a} \) die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, lokalen Extrempunkte und Wendepunkte in Abhängigkeit vom Parameter a.

1.2 Skizziere \( \mathrm{G}_{1} \).

1.3 Berechne den Inhalt der Fläche, die \( G_{1} \) mit der \( x \) -Achse und der Geraden \( x=b ~ (b>0) \) einschliesst.

Answer 1

f(x) = 6·e^{-x}·(e^{-x} - a) = 6·e^{- 2·x} - 6·a·e^{-x}

Nullstelle bei

x = -ln(a)

Stammfunktion

F(x) = 6·a·e^{-x} - 3·e^{- 2·x}

Flächeninhalt

F(b) - F(-ln(a)) = 6·a·e^{-b} - 3·e^{- 2·b} - 3·a^2