Induktion für folgende Ungleichung

Question

ich muss nur noch eine Aufgabe in meiner Übungsserie machen und bin am verzweifeln:

Der Hinweis (a) bezieht sich auf

x₁ · x₂ · ... · x_n = 1 ⇒ x₁ + x₂ + ... + x_n ≥ n

Answer 1

Dann nimm mal yi = xi / n-te Wurzel ( x1*x2*...*xn) und den Tipp.

Da hast du y1*y2*...*yn = 1 also y1+y2+...+yn ≥ n

also n ≤y1+y2+...+yn = ( x1 + x2 +.... + xn ) / n-te Wurzel ( x1*x2*...*xn)

alles   *  n-te Wurzel ( x1*x2*...*xn) gibt

n* n-te Wurzel ( x1*x2*...*xn)    ≤  x1 + x2 +.... + xn       | : n

gibt schon mal den hinteren Teil.

Comments

Und die Kehrwerte der y_i ergeben multipliziert auch 1, also hast du

auch für die Summe der Kehrwert, dass sie ≥ 1 sind, und wenn du da den

gemeinsamen Zähler ausklammerst, hast du

n ≤  n-te Wurzel ( x1*x2*...*xn) * ( 1/x1 + 1 / x2 + ...  1 / xn ) 

und durch die Klammer teilst, hast du den ersten Teil der Ungleichung.