LGS mit Additionsverfahren lösen

Question

Hallo

(I) 3x+9y-3z=15

(II)-8x-19y+3z=-30

(III)2x+y+3z=0

Wie löst man diese lineare Gleichung mit dem Additionsverfahren?Danke fürs Helfen!

Answer 1

3·x + 9·y - 3·z = 15

- 8·x - 19·y + 3·z = -30

2·x + y + 3·z = 0

II + I ; III + I

- 5·x - 10·y = -15

5·x + 10·y = 15

Linear Abhängig dadurch entfällt eine Gleichung

5·x + 10·y = 15 --> x = 3 - 2·y

3·(3 - 2·y) + 9·y - 3·z = 15 --> z = y - 2

Lösung also

x = 3 - 2·y

y

z = y - 2

Answer 2

Das Additionsverfahren beruht darauf, dass wenn

a = r und

b = s

ist, dann ist auch a+b = r+s. In deinem Beispiel ist

-8x-19y+3z=-30 und

2x+y+3z=0

also ist auch

(-8x-19y+3z) + (2x+y+3z) = -30+0,

was sich vereinfachen lässt zu

-6x-18y+6z = -30.

Problem dabei ist, das man dadurch nicht näher zur Lösung kommt. Näher zur Lösung kommt man dann, wenn durch die Addition zwweier Gleichungen eine Variable wegfällt. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn man die Gleichungen

3x+9y-3z=15 und

-8x-19y+3z=-30

addiert. Die resultierende Gleichung ist nämlich

(3x+9y-3z)+(-8x-19y+3z)=15-30

welche sich zusammenfassen lässt zu

-5x-10y=-15.

Ebenso kann man Gleichung (I) und Gleichung (III) addieren und bekommt

(3x+9y-3z)+(2x+y+3z)=15+0

oder zusammengefasst

5x+10y=15

Aus den drei Gleichungen mit drei unbekannten sind nun zwei Gleichungen mit zwei unbekannten geworden, nämlich

-5x-10y=-15 und

5x+10y=15

Von hier aus kommst du bestimmt alleine weiter.