Drei verschiedene Grenzwerte bestimmen

Question

folgende Aufgabe ist gegeben:

Vorschläge:

Sind die Ergebnisse richtig?

Beste Grüße,

Asterix

Comments

Nein, die Ergebnisse sind falsch  und die Vorgehensweise auch.

PS: (b) in der drittletzten Zeile ist richtig!

Answer 1

Die ersten beiden Ergebnisse sind wohl richtig, bei 1 könnte man aber auch noch

"mathematischer" argumentieren.

Bei 3 wäre die Regel von de Hospital angebracht.

Zähler und Nenner ableiten, dann gibt es

2 cos(x) sin( x)  /    ( 1 / (2 √x ))

= 2 √x * 2 cos(x) sin( x)   und das geht für x gegen 0 auch gegen 0.

Comments

Hallo mathef,

vielen Dank für deine Unterstützung! Also muss man generell bei trigonometrischen Funktionen und Wurzelfunktionen die Hospitalsche Regel anwenden, um das Grenzverhalten zu bestimmen.


→0·(0·1-0)/0=0

---

Die Hospitalsche Regel kann man immer anwenden, wenn man Brüche hat, wo Zähler und Nenner beide gegen 0 gehen  ( oder beide gegen ±unendlich). Allerdings nicht den Bruch ableiten mit der Quotientenregel

sondern Zähler und Nenner einzeln. Das gibt bei dir wirklich  2 cos(x) sin( x)  /    ( 1 / (2 √x ))

---

Alles klar. Vielen Dank für den wichtigen Hinweis! :-)

Beste Grüße,

Asterix

Answer 2

$$ (a)\quad \lim_{x\to-\infty} {\frac { 1 }{ \text{e}^{-x} }} = \lim_{x\to-\infty} { \text{e}^x} = 0. $$Das darf man so hinschreiben, da dies zu den als bekannt voraussetzbaren Eigenschaften der Exponentialfunktion gehört.

Comments

Hallo Gast hh9144,

vielen Dank für deine schnelle Antwort. Stimmt, ich habe übersehen, dass man die Funktion umformen kann. Dann strebt diese Funktion gegen 0. :-)

---

Hier noch eine alternative Möglichkeit zu $$ (c)\quad \lim_{x\,\to\,0}\frac { 1-\cos^2(x) }{ \sqrt { x } } $$Offenbar gilt$$ 0 \le \frac { 1-\cos^2(x) }{ \sqrt { x } } \le \frac { 1 }{ \sqrt { x } }$$was im Grenzwertfalle zu$$ 0 \le \lim_{x\,\to\,0}\frac { 1-\cos^2(x) }{ \sqrt { x } } \le 0$$führt und daher$$\lim_{x\,\to\,0}\frac { 1-\cos^2(x) }{ \sqrt { x } } = 0 $$erzwingt.

---

Vielen Dank für den alternativen Rechnenweg! :-)

Beste Grüße,

Asterix