Auf welcher Kurve bewegt sich Punkt X, wenn Punkt P den Halbkreis durchläuft?

Question

Aufgabe:

Der Punkt P liegt auf einem Halbkreis mit Mittelpunkt M.

Der Punkt X auf dem Radius MP hat von M den gleichen Abstand wie P vom Durchmesser des Halbkreises.

Auf welcher Kurve bewegt sich X, wenn P den Halbkreis durchläuft?

Answer 1

Es kommt tatsächlich dieser Kreis raus, wenn man rechnet.

Zeichne in der gegebenen Skizze das Lot durch den Punkt X auf der Kurve ein. Ich schreibe A für Alpha.

Da P(sin A | cos A) wenn der Radius des Halbkreises 1 ist, gilt für X das gleiche Verhältnis. Allerdings sind die Koordinaten mit der Länge der Hypotenuse cos A zu multiplizieren.

Also X(x|y) =X (sin A cos A | cos² A) oder X (√ (1-cos² A) cos A | cos² A)

Der y-Wert ist also y=cos² A        -------> cos A = ± √y

x = ±√y √(1-y)

x² = y(1-y)

y² - y + x² = 0

y = 0.5 (1 ± √(1-4x²)

Habe ich gezeichnet als

y = 0.5 (1 + √(1-4x²)   (rot)     und      y = 0.5 (1 - √(1-4x²)      (grün)

 

 

 

Comments

ist ja alles schön und gut, aber was ich noch nicht so ganz verstehe ist wie man von 0=y^2-y+x^2 auf den nächsten schritt kommt

LG

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Das ist eine uadratische Glg. für y mit a=1, b = -1 und c=x^2

oder p = -1 und q = x^2.

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sorry, aber ist das dann nicht eine negative wurzel??

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vergiss was ich grad geschrieben hab,

bedeutet das, dass der Radius des neuen Kreises halb so groß ist wie der des ersten?

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Ja. Kann das sein?

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ja, das sollte stimmen...

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mir ist gerade der Gedanke gekommen was passiert, wenn der Radius größer als 1 ist...

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Dann ist einfach eine Streckung mit dem Faktor R nötig. Du kannst das ja als Übung noch durchrechnen.

An der Tatsache, dass dieser 'halb so grosse' Kreis rauskommt ändert sich nichts.

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tut mir leid dich nochmal zu nerven, aber dann stimmt x^2=y(1-y) nicht mehr...

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Damit ist auch nicht zu rechnen. Da muss man den Parameter R bis am Schluss mitschleppen. Erst dann unter der Wurzel wird sich zeigen, für welche x die definiert ist.

Da P(R sin A | R cos A) wenn der Radius des Halbkreises R ist, gilt für X das gleiche Verhältnis. Allerdings sind die Koordinaten mit der Länge der Hypotenuse cos A zu multiplizieren.

Also X(x|y) =X (R sin A cos A | R cos² A) oder X ( R√ (1-cos² A) cos A | R cos² A)

Der y-Wert ist also y = R cos² A        -------> cos A = ± √ (y/R)

x = ±R √(y/R) √(1- (y/R))

x² = R² (y /R) (1- (y/R))

x² = R² (y /R) ((R- y)/R))

x² =  y  (R- y)

y² - Ry + x² = 0

y = 0.5 (R ± √(R²- 4x²)

4x² ≤ R²

|x| ≤ R/2

Der resultierende Kreis ist wieder halb so gross wie der gegebene.

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Im Resultat fehlt noch eine Klammer :

y = 0.5 (R ± √(R²- 4x²))

Answer 2

Wenn ich es mir so vorstelle, wie sich der Punkt X bewegt, so komme ich zum Schluss, dass er sich in einem Kreis mit einem Mittelpunkt, der auf der Senkrechten zum Durmesser liegt. Wenn man die zum Durchmesser senkrechte Strecke [MPunkt auf Kreis] halbiert, so hat man den Mittelpunkt des Kreises, auf dem X immer liegt.