Um wie viel Prozent unterscheiden sich die Rauminhalte der beiden Körper?

Question

Zwei Halbkreise haben den Durchmesser d = 29,0 cm.

Aus ihnen werden der Mantel eines Kegels und der Mantel einer quadratischen Pyramide gefertigt.

Um wie viel Prozent unterscheiden sich die Rauminhalte der beiden Körper?

Comments

Hier noch die Skizze dazu:

 

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Konntest du denn das Volumen des Kegels oder der Pyramide inzwischen berechnen?

Kennst du sin, cos ... oder nur Pythagoras?

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Volumen des Kegels: 5529,59cm³ (der Wert erscheint mir deutlich zu hoch).

Pyramide: ?

 

sin, cos, tan, Pythagoras... alles bekannt.

 

MfG

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Ich habe fälschlicherweise einen falschen Wert genommen, das richtige Volumen des Kegels müsste 892,25 cm³ sein.

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Arggg... nochmal verrechnet. Volumen Kegel: 691,34 cm³ und Volumen  Pyramide 604,88cm^3.

Differenz 12,51%

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ich versuch seit 1 stunde die aufgabe zu lösen. Kannst du mir bitte alle rechenwege, lösungsversuche erläutern? Danke :)

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Ich sitz nun seit 1 Stunde an dieser Aufgabe dran und komme nicht weiter. Ich hab absolut kein Plan, wie ich anfangen soll, wie es weiter geht, etc... (W2a). Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Danke. 

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Volumen des Kegels ist richtig, denke ich.

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Du brauchst das Volumen gar nicht auszurechnen, weil die Höhe in beiden Körpern gleich ist und beide Körper die Formel V = 1/3 * G * h haben. 

Es genügt, wenn du die beiden Grundflächen miteinander vergleichst. 

G_(Kegel) = π*R^2

G_(Pyramide) = a^2 , 

Verhältnis V_(Pyramide) / V_(Kegel) = 4r^2 *sin^2(22.5°) / (π/4 r^2) 

= 16 *sin^2(22.5°) / (π) ≈ 0.7458465

Das kleinere Volumen (Pyramidenvolumen) ist etwa 25.415% kleiner als das grössere Volumen. 

Ohne Gewähr! Bitte selbst kontrollieren! 

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weil die Höhe in beiden Körpern gleich ist

Wie kommst du denn auf so'n Quatsch ?
Beachte, dass   √2  ≠  4/3   ist.

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@Gast hj2166 

Wie lang sind denn deiner Meinung nach die Mantellinien der beiden Körper? 

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Kann das STIMMEN?

man soll einfach beide Volumina berechnen mit dem gegebenen Durchmesser des Kreises.

Das Volumen eines Kegels ist 1/3 * (pi) * r² * h und das dieser 4-seitigen Pyramide 1/3 * a² * h mit a = Kantenlänge.

Zur Pyramide: Der Halbkreis (der insgesamt 180° hat) wurde in 4 Teile gleich große Teile geteilt, also hat jedes 60°. WIr betrachen ein so ein eingezeichnetes Dreieck. Mit b = cos(45°) * r (warum?) haben wir die halbe Kantenlänge der Pyramide, man muss jetzt b mal 2 nehmen, um a zu erhalten.
Um die Höhe h zu berechnen, muss man sich die Pyramide von der Seite wie ein Dreieck vorstellen und es gilt: h = Wurzel(r² - b²) (Pythagoras umgestellt)

=> Volumen der Pyramide.

Zum Kegel: Hier muss man sich den Kegel genau wie die Pyramide von der Seite wie ein Dreieck vorstellen, um auf die Höhe h zu kommen. Aber zunächst zum Radius des Grundkreises.
Der Umfang des Grundkreises ist der halbe Umfang des anfänglichen Kreies, den man in 2 Hälften geteilt hat um Pyramide und Kegel draus zu basteln. Dieser hatte Radius = 14,5cm, also ist der Kegelumfang U = pi * 14,5cm, woraus wir durch Umstellen den Radius r = 7,25cm erhalten.

Jetzt stellen wir uns den Kegel wieder von der Seite vor und erhalten dank des Radiuses die Höhe h = Wurzel((14.5cm)² - (7,25cm)²).

=> Volumen Kegel.

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Wie lang sind denn deiner Meinung nach die Mantellinien der beiden Körper? 

r

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@hj2166 und weshalb sind die beiden Körper denn nicht gleich hoch? 

@IJuump 

Zur Pyramide: Der Halbkreis (der insgesamt 180° hat) wurde in 4 Teile gleich große Teile geteilt, also hat jedes 45°. 

WIr betrachten ein so ein eingezeichnetes Dreieck. Mit b = cos(45°) * r (warum? ) Wer sagt das?   haben wir die halbe Kantenlänge der Pyramide, man muss jetzt b mal 2 nehmen, um a zu erhalten. 
Um die Höhe h zu berechnen, muss man sich die Pyramide von der Seite wie ein Dreieck vorstellen und es gilt: h = Wurzel(r² - b²) (Pythagoras umgestellt)

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Ist etwa die Diagonale beim Quadrat gleich dem Durchmesser beim Kegel ?
(Du darfst gerne deine eigene Lösung von oben konsultieren.)

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Ist etwa die Diagonale beim Quadrat gleich dem Durchmesser beim Kegel ? 

(Du darfst gerne deine eigene Lösung von oben konsultieren.) 

Interessanterweise in meiner Rechnung nicht so ganz.  

Also vielleicht doch die Höhen ausrechnen. 

Answer 1

Umfang des halbkreises: U=π*r=π*(29/2)=45,55

Daraus wird der Radius des Grundkreises des Kegels.

U=2*π*r

r=U/(2*π)=45,55/(2*π)=7,25

Die Höhe ergibt sich über den Pythagoras mit der Mantellinie. 

h=√(s^2-r^2)=√((29/2)^2-7,25^2)=12,56

V=1/3*π*r^2*h=1/3*π*7,25^2*12,56=691,2