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ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe:

Seien (M; ΤM); (N;ΤN) topologische Raume und f : M → N eine stetige Abbildung.

a) Man beweise oder widerlege den folgenden Aussagen:
i) Fur jedes off ene U ⊆ M ist f(U) auch off en.
ii) Fur jedes abgeschlossene V ⊆ M ist f(V) auch abgeschlossen.

b)Sei N = ℝ versehen mit der euklidischer Topologie. Man zeige, dass die Menge V = { x ∈ M| f(x) ≤ 0 }
 abgeschlosssen ist


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Was hat das ganze mit linearen Abbildungen zu tun?

1 Antwort

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a) IR mit der euklidischen Topologie und f : IR ---> IR mit x -----> x^2 ist stetig.

Und das Intervall ] - 1 ; 1 [ ist offen, aber sein Bild  [ o ; 1 [ nicht.

ii) das stimmt wohl . Beweis wohl ähnlich wie bei

b) Damit V abg. ist, muss M \ V offen sein. Sei also x aus M \ V

dann ist f(x) = y  > 0 und also gibt es eine eps-Umgebung  W um y , die nur

Elemente > 0 enthält. Da f stetig ist, gibt es eine Umgebung U um x mit

f(U) ⊂ W, also  f(x) > 0 für alle x aus U.   Also U in   M \ V. Also ist

M \ V   offen und damit   V abg.

Avatar von 289 k 🚀

Die zweite Aussage in a) stimmt nicht (wäre ja auch merkwürdig, wenn Bilder abgeschlossener Mengen zwar immer abgeschlossen, aber Bilder offener Mengen im Allgemeinen nicht offen wären).

Ach ja, man könnte ja z.B. bei IR mit arctan ganz IR ( ist ja abg., weil ∅ offen)

auf ] pi/2 ; pi/2 [   ( das ist offen) abbilden.

Und stetig ist das ja.

Ich glaube nur, wenn die abg. Menge beschränkt ist, dann stimmts.

Wie definierst du denn Beschränktheit in topologischen Räumen? Dazu brauchst du mindestens metrische Räume.

Du denkst da an den Satz von Heine-Borel: "Eine Teilmenge des \(\mathbb R^n\) (mit der Euklidischen Metrik) ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist."
Und stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt.

Eine stetige Abbildung \(\mathbb R^n\to\mathbb R^m\) bildet also abgeschlossene beschränkte Mengen auf abgeschlossene (und beschränkte) Mengen ab.

In allgemeinen metrischen Räumen ist aber "abgeschlossen+beschränkt" nicht äquivalent zu "kompakt" (letzteres impliziert ersteres, andersherum nicht). Deswegen ist auch "abgeschlossen+beschränkt" nicht hinreichend für die Abgeschlossenheit des Bildes.
Nimm z.B. die Mengen \([0,2\pi)\) und \(\mathbb S^1:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2+y^2=1\}\); beide mit der von \(\mathbb R\) bzw. \(\mathbb R^2\) induzierten Teilraumtopologie (beides sind metrische Räume). Dazu die stetige Abbildung \([0,2\pi)\to \mathbb S^1, x\mapsto (\cos(x), \sin(x))\).
Die Menge \([\pi,2\pi)\subseteq [0,2\pi)\) ist abgeschlossen und beschränkt, ihr Bild ist aber in \(\mathbb S^1\) nicht abgeschlossen.

Danke, jetzt wird es klarer. Ich hatte in der Tat nicht lange darüber nachgedacht.

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