Ausgehend von der Definition von Offenheit: Eine Menge \(M\) eines metrischen Raumes \((X,d)\) ist genau dann offen, wenn für jedes \(m\in M\) ein \(\varepsilon>0\) existiert, sodass \(B_\varepsilon(m)\subseteq X\). Insbesondere sind alle Bälle offen.
Deine Menge ist tatsächlich ein "Ball" um \(0\) herum, wie sich herausstellt. Kannst du erraten, was der Radius dieses Balls ist? Du kannst deine Menge also schreiben als \([0,1)=\{r\in \mathbb{R}\mid d(0,r)<t\}\) für ein von dir zu findendes \(t\).
Rein intuitiv: Dein Einwand, dass die Folge \(a_n=-\frac{1}{n}\) von links gegen \(0\) konvergiere, ist bei näherer Betrachtung nicht zulässig. Wenn du dir die präzise Definition von Konvergenz in einem metrischen Raum betrachtest, und deine hier gegebene Metrik genau anschaust, wirst du merken, dass eine negative Folge gar nicht gegen \(0\) konvergieren kann, da sie mindestens Abstand \(1\) zum Ursprung haben muss.
Verwechsle hier übrigens nicht konvergente Folgen mit Cauchyfolgen, denn deine gegebene Folge ist eine Cauchyfolge, sieht also auf den ersten Blick aus wie eine Folge, die durchaus gegen irgendetwas konvergieren könnte. Tut sie aber nicht. Dass sie nicht konvergiert, bedeutet einfach, dass der gegebene metrische Raum nicht vollständig ist.
Rein geometrisch kannst du dir deinen Raum so vorstellen: Du nimmst dir den reellen Zahlenstrahl mit seiner dir bekannten Geometrie, und schneidest ihn am Ursprung in zwei Stücke, wobei der Ursprung beim rechten Stück bleibt, und ziehst die beiden Stücke eine (\(1\)) Einheit auseinander. Du hast also die beiden Zusammenhangskomponenten \((-\infty,0)\) und \([0,\infty)\), die beide jeweils genau so aussehen, wie sie vorher im Zahlenstrahl saßen. Nur dass diese beiden Teile nicht mehr aneinandergeklebt sind, sondern einen Abstand von \(1\) zueinander haben.
Eine kleine Analogie, die dir das ganze einfacher machen könnte: Nimm dir den Raum \(X=\mathbb{R}\setminus[-1,0)=(-\infty,-1)\cup[0,\infty)\) mit der "kanonischen" Metrik gegeben durch die Distanzfunktion der reellen Zahlen. Würdest du hier behaupten, die Folge \(a_n=-1-\frac{1}{n}\) würde gegen \(0\) konvergieren? Macht keinen Sinn oder? Der Raum \(X\) ist aber tatsächlich der "gleiche" Raum wie der von dir betrachtete, nur die Elemente der linken Zusammenhangskomponente habe ich frecherweise umbenannt, um dich von meinem Punkt zu überzeugen. Genauer gesagt, es gibt einen Homöomorphismus, der die Metrik festlässt, gegeben durch die Identität auf der rechten Komponente und \(x\mapsto x-1\) auf der linken.
