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Hallo

verstehe diese Aufgabe nicht so ganz:

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und f : V → V ein Endomorphismus.

Zeigen Sie: Genau dann gilt MBB(f) = MCC(f) für alle Basen B, C
von V , wenn f = a * idV für einen Skalar a ∈ K ist.

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Die eine Richtung ist ja einfach:

wenn   f = a * idV für einen Skalar a ∈ K ist.

und B = v1, v2, v3, ... ,vn irgendeine Basis, dann

ist für alle i     f(vi) = a* vi also stehen in der i-ten Spalte

der Matrix alles 0en nur an in der i-ten   Zeile ein a.

Für jede Basis B ist also a * Einheitsmatrix die

Matrix MBB(f)  d.h.    MBB(f)  = a * E  .

Und weil es für jede Basis so ist also auch immer

MBB(f) = MCC(f) für alle Basen B, C  von V.

Für die andere Richtung habe ich noch keine Idee.

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Das Problem hat sich wahrscheinlich schon längst erledigt, aber hier ist ein Lösungsvorschlag:

Behauptung: ∀ B, C mit B, C sind Basen von V: MBB(F) = MCC(F) ⇔ f =  α idV mit α ∈ K

„⇒“ 

n:= dimkV

MBB(F) =: \( \begin{pmatrix} λ11& … & λ1n\\ ⋮ &  & ⋮ \\ λn1& … & λnn \end{pmatrix} \) =: A

Sei B := ( v1, … , vn )

Dann sei Bkm definiert als die Basis, die durch das vertauschen des k. und m. Basiselement von B entsteht, wobei k ≠ m.

Beispiele:

B12 = ( v2, v1, v3, … , vn ), B13 = ( v3, v2, v1, v4, … , vn )

Dann für beliebige m1, m2, k ∈ {1,…,n} mit m1 ≠ k ≠ m2:

F(vk) = F(vk)

⇒ IBkm1-1(FA(IBkm1(vk))) = IBkm2-1(FA(IBkm2(vk)))

⇒ IBkm1-1(\( \begin{pmatrix}  λ11 & … & λ1n \\ ⋮ &  & ⋮ \\ λn1 & … & λnn \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 0 \\ … \\ 1(m1.  Stelle) \\ … \\ 0 \end{pmatrix} \)) = IBkm2-1(\( \begin{pmatrix}  λ11 & … & λ1n \\ ⋮ &  & ⋮ \\ λn1 & … & λnn \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 0 \\ … \\ 1(m2.  Stelle) \\ … \\ 0 \end{pmatrix} \))

⇒ IBkm1-1(\( \begin{pmatrix} λ1m1 \\ ⋮ \\ λnm1 \end{pmatrix} \)) = IBkm2-1(\( \begin{pmatrix} λ1m2 \\ ⋮ \\ λnm2 \end{pmatrix} \))

⇒ λ1m1 v1 + … + λkm1 vm1 + … + λm1m1 vk + … + λnm1 vnm1 = λ1m2 v1 + … + λkm2 vm2 + … + λm2m2 vk+ … + λnm2 vnm2

⇒ … + (λm1m1 - λm2m2) vk + … = 0

Da v1, …, vn linear unabhängig sind:

⇒ λm1m1 - λm2m2 = 0 ⇒ λm1m1 = λm2m2

Da m1, m2 beliebig:

⇒ ∀ m1, m2 ∈ {1,…,n} mit m1 ≠ k ≠ m2 : λm1m1 = λm2m2

⇒ \( \begin{pmatrix} λ11 & … & λ1n\\ ⋮ &  & ⋮ \\ λn1 & … & λnn \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} α & λ12 & … &λ1n\\ λ21 &⋱&  &⋮\\ ⋮ & &⋱&⋮\\λn1 & … & λn n-1 &α \end{pmatrix} \)

Nun sei Ckm eine solche Basis, die aus B durch das subtrahieren des k. Vektors vom m. Vektor entstanden ist, wobei k ≠ m.

Beispiel:

C12 = (v1, v2 - v1, v3, …, vn)

Dann für beliebige m, k ∈ {1,…,n} mit m ≠ k:

F(vm) = F(vm)

⇒ F(vk + vm - vk) = F(vm)

⇒ICkm-1(FA(ICkm(vm))) = IB-1(FA(IB(vm)))

⇒ … (wie oben) ⇒ … + (λmk + λmm) (vm - vk) + … = … + λmm vmm + … 

⇒ … + λmk vm + … = 0 ⇒ λmk = 0 ⇒ ∀ m, k ∈ {1, … , n} mit m ≠ k: λmk = 0 

⇒ \( \begin{pmatrix} α & λ12 & … &λ1n \\ λ21 &⋱&  &⋮ \\ ⋮ &  &⋱& ⋮\\λn1 & … & λn -1 &α \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix}  α &  &0 \\   & ⋱ &\\  0 & &α \end{pmatrix} \) = A

Dann für ein beliebiges v ∈ V:

F(v) = IB-1(FA(IB(v))) = … = IB-1(α \( \begin{pmatrix} μ1 \\ ⋮ \\ μn \end{pmatrix} \))= α ( μ1 v1 + … + μn vn ) = α v

⇒ ∀ v ∈ V: F(v) = αv

⇒ F = α idV


„⇐“

idV =: F

Seien B:= ( v1 , … , vn ), C:= ( w1 , … , wn ) beliebige Basen von V.

⇒ MBB(idV) = (IB(idV(v1)) … IB(idV(vn))) = (IB(v1) … IB(vn)) 

 = \( \begin{pmatrix} α &  & 0 \\  & ⋱ &  \\  0 &  & α \end{pmatrix} \)

Damit gilt auch für C:

MCC(idV) = \( \begin{pmatrix} α &  & 0 \\  & ⋱ &  \\  0 &  & α \end{pmatrix} \)

⇒ MBB(idV) = \( \begin{pmatrix} α &  & 0 \\  & ⋱ &  \\  0 &  & α \end{pmatrix} \) = MCC(idV)

⇒ ∀ B, C mit B, C sind Basen von V: MBB(F) = MCC(F)

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