Mbb(f) = Mcc(f) für alle Basen b , c

Question

Hallo

verstehe diese Aufgabe nicht so ganz:

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und f : V → V ein Endomorphismus.

Zeigen Sie: Genau dann gilt M_BB(f) = M_CC(f) für alle Basen B, C
von V , wenn f = a * id_V für einen Skalar a ∈ K ist.

Answer 1

Die eine Richtung ist ja einfach:

wenn   f = a * id_V für einen Skalar a ∈ K ist.

und B = v1, v2, v3, ... ,vn irgendeine Basis, dann

ist für alle i     f(vi) = a* vi also stehen in der i-ten Spalte

der Matrix alles 0en nur an in der i-ten   Zeile ein a.

Für jede Basis B ist also a * Einheitsmatrix die

Matrix M_BB(f)  d.h.    M_BB(f)  = a * E  .

Und weil es für jede Basis so ist also auch immer

M_BB(f) = M_CC(f) für alle Basen B, C  von V.

Für die andere Richtung habe ich noch keine Idee.

Answer 2

Das Problem hat sich wahrscheinlich schon längst erledigt, aber hier ist ein Lösungsvorschlag:

Behauptung: ∀ B, C mit B, C sind Basen von V: M_BB(F) = M_CC(F) ⇔ f =  α id_V mit α ∈ K

„⇒“ 

n:= dim_kV

M_BB(F) =: \( \begin{pmatrix} λ11& … & λ1n\\ ⋮ &  & ⋮ \\ λn1& … & λnn \end{pmatrix} \) =: A

Sei B := ( v₁, … , v_n )

Dann sei B_km definiert als die Basis, die durch das vertauschen des k. und m. Basiselement von B entsteht, wobei k ≠ m.

Beispiele:

B₁₂ = ( v₂, v₁, v₃, … , v_n ), B₁₃ = ( v₃, v₂, v₁, v₄, … , v_n )

Dann für beliebige m₁, m₂, k ∈ {1,…,n} mit m₁ ≠ k ≠ m₂:

F(v_k) = F(v_k)

⇒ I_Bkm1^-1(F_A(I_Bkm1(v_k))) = I_Bkm2^-1(F_A(I_Bkm2(v_k)))

⇒ I_Bkm1^-1(\( \begin{pmatrix}  λ11 & … & λ1n \\ ⋮ &  & ⋮ \\ λn1 & … & λnn \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 0 \\ … \\ 1(m1.  Stelle) \\ … \\ 0 \end{pmatrix} \)) = I_Bkm2^-1(\( \begin{pmatrix}  λ11 & … & λ1n \\ ⋮ &  & ⋮ \\ λn1 & … & λnn \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 0 \\ … \\ 1(m2.  Stelle) \\ … \\ 0 \end{pmatrix} \))

⇒ I_Bkm1^-1(\( \begin{pmatrix} λ1m1 \\ ⋮ \\ λnm1 \end{pmatrix} \)) = I_Bkm2^-1(\( \begin{pmatrix} λ1m2 \\ ⋮ \\ λnm2 \end{pmatrix} \))

⇒ λ_1m1 v₁ + … + λ_km1 v_m1 + … + λ_m1m1 v_k + … + λ_nm1 v_nm1 = λ_1m2 v₁ + … + λ_km2 v_m2 + … + λ_m2m2 v_k+ … + λ_nm2 v_nm2

⇒ … + (λ_m1m1 - λ_m2m2) v_k + … = 0

Da v₁, …, v_n linear unabhängig sind:

⇒ λ_m1m1 - λ_m2m2 = 0 ⇒ λ_m1m1 = λ_m2m2

Da m₁, m₂ beliebig:

⇒ ∀ m₁, m₂ ∈ {1,…,n} mit m₁ ≠ k ≠ m₂ : λ_m1m1 = λ_m2m2

⇒ \( \begin{pmatrix} λ11 & … & λ1n\\ ⋮ &  & ⋮ \\ λn1 & … & λnn \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} α & λ12 & … &λ1n\\ λ21 &⋱&  &⋮\\ ⋮ & &⋱&⋮\\λn1 & … & λn n-1 &α \end{pmatrix} \)

Nun sei C_km eine solche Basis, die aus B durch das subtrahieren des k. Vektors vom m. Vektor entstanden ist, wobei k ≠ m.

Beispiel:

C₁₂ = (v₁, v₂ - v₁, v₃, …, v_n)

Dann für beliebige m, k ∈ {1,…,n} mit m ≠ k:

F(v_m) = F(v_m)

⇒ F(v_k + v_m - v_k) = F(v_m)

⇒I_Ckm^-1(F_A(I_Ckm(v_m))) = I_B^-1(F_A(I_B(v_m)))

⇒ … (wie oben) ⇒ … + (λ_mk + λ_mm) (v_m - v_k) + … = … + λ_mm v_mm + … 

⇒ … + λ_mk v_m + … = 0 ⇒ λ_mk = 0 ⇒ ∀ m, k ∈ {1, … , n} mit m ≠ k: λ_mk = 0 

⇒ \( \begin{pmatrix} α & λ12 & … &λ1n \\ λ21 &⋱&  &⋮ \\ ⋮ &  &⋱& ⋮\\λn1 & … & λn -1 &α \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix}  α &  &0 \\   & ⋱ &\\  0 & &α \end{pmatrix} \) = A

Dann für ein beliebiges v ∈ V:

F(v) = I_B^-1(F_A(I_B(v))) = … = I_B^-1(α \( \begin{pmatrix} μ1 \\ ⋮ \\ μn \end{pmatrix} \))= α ( μ₁ v₁ + … + μ_n v_n ) = α v

⇒ ∀ v ∈ V: F(v) = αv

⇒ F = α id_V

„⇐“

id_V =: F

Seien B:= ( v₁ , … , v_n ), C:= ( w₁ , … , w_n ) beliebige Basen von V.

⇒ M_BB(id_V) = (I_B(id_V(v₁)) … I_B(id_V(v_n))) = (I_B(v₁) … I_B(v_n)) 

 = \( \begin{pmatrix} α &  & 0 \\  & ⋱ &  \\  0 &  & α \end{pmatrix} \)

Damit gilt auch für C:

M_CC(id_V) = \( \begin{pmatrix} α &  & 0 \\  & ⋱ &  \\  0 &  & α \end{pmatrix} \)

⇒ M_BB(id_V) = \( \begin{pmatrix} α &  & 0 \\  & ⋱ &  \\  0 &  & α \end{pmatrix} \) = M_CC(id_V)

⇒ ∀ B, C mit B, C sind Basen von V: M_BB(F) = M_CC(F)