[Iterierte Abbildung]: Wassermenge eines Teiches

Question

folgende Aufgabe ist gegeben:


Vorschläge zu:
(a) 15% (bzw. 0.15) des Wassers sickert im Boden ein (Grundwasser) und 10% (bzw. 0.10) des Wassers verdunstet über die Luft. Der Verlust wird addiert: 1.00-0.15-0.10=0.75 und man erhält 0.75 Wassermenge pro Tag ausgehend von der täglich zugeführten 100l Wasser.

(b)
Tag 0: 0.75·0+100=100.00 l
Tag 1: 0.75·1+100=100.75 l
Tag 2: 0.75·2+100=101.50 l
Tag 3: 0.75·3+100=102.25 l
Tag 10: 0.75·10+100=107.50 l
Tag 100: 0.75·100+100=175.00 l

Fixpunkt bei 100.00l (y-Achse) f(x*)

(c)

Schnittpunkt bei 400 l Wasser

(d)
Vermutung:
1. Fall: a=100, x₁*=x₂*⇒stabiler Fixpunkt
2. Fall: 0<100<400, x₁*=x₂*⇒stabiler Fixpunkt
3. Fall: 400≤a, x₁*=x₂*⇒instabiler Fixpunkt

(f)
f(x)=0.85x+100 
g(x)=1.7x+100
⇒Schnittpunkt der beiden Funktionen ergeben 600 l stabilen Fixpunkt

Sind meine Vorschläge richtig?

Beste Grüße,

Asterix

Answer 1

müsste es nicht heißen:

(b)
Tag 0: 0.75·0+100=100.00 l
Tag 1: 0.75·100+100=175 l
Tag 2: 0.75·175+100=231,25 l
Tag 3: 0.75·231,25+100=273,44 l
etc.

und Berechnung des  Fixpunktes

w_t+1 = w_t     

w_t = 0,75w_t + 100

gibt  Fixpunkt bei 400 Liter. 

Comments

Hallo mathef,

vielen Dank für die Unterstützung! Ich denke auch, dass mein Verlauf viel zu langsam ansteigt und das Deine bzw. Ihre errechneten Werte korrekt sind.

Beste Grüße,

Asterix

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Hallo mathef,

wenn ich zwei verschiedene Anfangsbedingungen wähle, dann pendeln sich die Werte wieder zum Fixpunkt 400l zu. Ist das richtig? Oder gibt es einen instabilen Fixpunkt, wenn man einen Fixpunkt >400l wählt? Und wie kann man das mit einer Funktion der Zeit skizzieren?

Vermutung:
1. Fixpunkt: "goldene Mitte" Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der Winkelhalbierende
2. Fixpunkt: "zwischen" 0 und 400l
3. Fixpunkt: ">400l"

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dann pendeln sich die Werte wieder zum Fixpunkt 400l zu. Ist das richtig?

ich denke schon. Denn bei der Fixpunktberechnung geht der Anfangswert

ja gar nicht ein.

Und wenn du mit mehr als 400 Liter beginnst, nimmt ja die Menge ab.

Das ist wohl mit den "qualitativ unterschiedlichen Anfangsbed." gemeint.

mal mehr mal weniger als 400.

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Okay, zu (f) habe ich im Funktionsplotter f(x)=0.84x+100 eingegeben und habe den Schnittpunkt mit der WH bei 600l erhalten. Somit ist 0.85x aus dem vorherigen Kommentar falsch bzw. ungenau.

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Zu (e): y-Achse ω in l und x-Achse t in d. Einzelne Ergebnisse werden abgetragen und es ergibt sich eine steigender Kurvenverlauf der gegen 400l konvergiert. Ich habe die Skizze bis 10 Tagen gemacht, denn die Änderungen sind ja im weiteren Verlauf geringfügig. Nach 33 Tagen erhält man den Wert 399.99l.

Vielen Dank mathef für deine Unterstützung!

Beste Grüße,

Asterix