Wie berechnet man die Integrale? ∫ (-1 bis 2) (x^2 - 1) dx - ∫ (-1 bis 2) (1 - x^2) dx

Question

Wie berechnet man die Integrale? Komme nicht drauf, hilfe :( -aufgabe b,c,d,e

Answer 1

∫ (-1 bis 2) (x^2 - 1) dx - ∫ (-1 bis 2) (1 - x^2) dx

= ∫ (-1 bis 2) (2x^2 - 2) dx

= [2/3*x^3 - 2x](-1 bis 2)

= 4/3 - 4/3

= 0

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∫ (1 bis 2) ((x - 1) / x^2) dx - ∫ (1 bis 2) ((x + 1) / x^2) dx

= ∫ (1 bis 2) (-2 / x^2) dx

= [2 / x](1 bis 2)

= 1 - 2 = - 1

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Du siehst wie ich vorgehe. Eventuell zunächst mehrere Integrale zusammenfassen, wenn es sinn macht. Dann eine Stammfunktion bilden und das zusammengefasste Integral ausrechnen.

Probier dich mal an den anderen Aufgaben selber und erkläre dann genau was du nicht verstehst. Nutze z.B. Wolframalpha um zunächst einfach das Integral zu berechnen um eine Kontroll-Lösung zu haben auf die du auch kommen solltest. Wolframalpha für das Handy kann auch mit einer Schritt für Schritt-Lösung eine Stammfunktion ermitteln. Ich nutze das selber sehr häufig, wenn ich keine Ahnung habe wie ich an ein Integral rangehen kann oder wenn ich einfach zu faul bin es selber auszurechnen.

Answer 2

man kann alle Integrale auch einfach getrennt ausrechnen, aber wenn ich mit die Grenzen anschaue, sollst du wohl mit bestimmten Regeln arbeiten.

Die d)  rechne ich dir mal vor

a<b<c  →  ∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx   =  ∫_a^c  f(x) dx 

3 • ∫₀¹ x² dx  +  2 • ∫₁²  x² dx  -  ∫₀¹ x² dx     |  kannst du zusammenfassnen:

= 2 • ∫₀¹ x² dx  +  2 • ∫₁²  x² dx                      |  2 ausklammern

= 2 • [ ∫₀¹ x² dx[  +  ∫₁²  x² dx ]                        

mit gleichem Integrand  bilden die Grenzen ein zusammenhängendes Intervall:

= 2 • ∫₀²  x² dx  = 2 • [ 1/3 x³ ]₀² 

= 8/3 - 0 = 8/3

Gruß Wolfgang