Wie bestimmt man das bestimmte Integral von (0)bis(2) ∫ 1/x² dx?

Question

Ich habe, im Buch, einen Graphen gegeben. Es soll davon die Fläche bestimmt werden. Das Problem ist dass, das nicht von 0 bis 2 laufen kann, weil dieses "divergiert". Wie soll ich das aber berechnen?

Die Fläche geht bis zu 2(Funktionswert) und geht von 0 bis 2(x Wert), aber es ist nicht eingeschlossen.

Wie berechne ich diese Fläche?

Comments

Das ist der Graph im Buch(ungefähr)

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Ich habe, im Buch, einen Graphen gegeben. Es soll davon die Fläche bestimmt werden. Das Problem ist dass, das nicht von 0 bis 2 laufen kann, weil dieses "divergiert". Wie soll ich das aber berechnen?

Du kannst das Resultat (+unendlich, d.h. divergent) mit einer divergenten Minorante abschätzen, falls das das ist, was du brauchst.

Vierecke aufeinander stapeln. Skizze:

~plot~ 1/x^2;1;2;3;4;5;6;x=1;x= 1/sqrt(2);x=1/sqrt(3);x=1/2 ~plot~

Soll eine Art Untersumme für das gesuchte Integral sein.

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Es ist eine Aufgabe von einem Mathebuch der 12.Klasse. Was wäre die "einfache Lösung", bin auch müde :)?

Soll ich schreiben "divergent"?

Answer 1

ich verstehe die Aufgabe so:

f(x) = 1/x^2

~plot~ 1/x^2;2 ~plot~

jetzt sucht man den x-Wert, bei dem f den Wert 2 annimmt.

Also:

1/x^2 = 2

1/2 = x^2

x = +/- (√2)/2

Hier ist aber nur der positive Wert interessant.

Also integriert man f in dem Intervall I=[(√2)/2;2]

und addiert dazu: 2*(√2)/2

Ich komme dann auf ≈2,328

Gruß

Smitty

Comments

Eben, genau so wollte ich es machen, aber offensichtlich ist der Flächeninhalt "unendlich". Das geht so nicht, es divergiert.

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Das soll doch so aussehen (ja, die Zeichnung ist nicht die beste, aber ich glaube es wird klar, was ich meine:

Da ist der Flächeninhalt, der gesucht ist, oder?

Und der ist nicht offensichtlich unendlich.

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Da hier die Meinungen aufeinander kommen, ja. Es war für mich halt nicht ersichtlich, vielleicht wäre noch eine Begrenzung vom Buch besser gewesen. Jetzt habe ich es aber.

Danke.

Answer 2

Das Bild im Buch verlangt nach einer andern Fläche. Die ist nicht unendlich.

~plot~ 1/x^2;2;x=2;x=1/sqrt(2) ~plot~

Berechne diese Fläche in 2 Schritten.

1. Rechtecksfläche links von 1/√(2)

2. Integral mit den Grenzen 1/√2 und 2 .

Beide Resultate dann addieren.

Answer 3

f ( x ) = 1/x^2 = x^(-2)
Stammfunktion
S = x^(-2 + 1) / -1
S = - 1/x

A = [ -1/x ] zwischen lim x -> 0(+) und 2
A =  -1/2 - (- ∞ ) = ∞

Findet bei dir noch eine Deckelung mit y = 2 statt ?

Comments

Nein, meine Idee wäre es gewesen, wie du sagst, einfach einen "Deckel" zu setzen mit y = 2 und dann den Schnittpunkt zu bestimmen. Das Problem ist aber, dass ich dann nur ein Stück der Fläche habe.

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Ein Graph

Der Flächeninhalt ( blau ) ist unendlich.
und bleibt auch unendlich.
Auch bei den tollsten Berechnungen.

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Passt, Passt! Ich kann ja dann vom X-Wert des Schnittpunktes weiter integrieren. Dann habe ich die gesuchte Fläche.

Nur eine Frage: Was waren deine Grenzen beim "uneigentlichen" Integral?

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Für die Fläche unterhalb der blauen Kurve gilt
A = [ S ] = [ -1/x ] zwischen lim x->0(+) und x = 2
A = -1/2 - ( -1/x )
lim x -> 0(+)
A = -1/2 + ∞

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Was sollte mir aber dann das Schulbuch damit sagen, wenn wir diese "Thematik" nie hatten? Es stand nur da, bestimmen Sie die markierte Fläche.

Answer 4

$$2\cdot 2  - \int_{\frac {1}{\sqrt{2}}}^2\dfrac1{x^2}\,\mathrm dx$$PS: Na, so geht es natürlich nicht!