Berechnen des Integrals von f(x) = x^2*sin(x)*cos(x) mit sinus und cosinus

Question

Hi,

habe Schwierigkeiten bei folgendem Integral:

$$\int _{ 0 }^{ \frac { \Pi  }{ 3 }  }{ { x }^{ 2 } } \sin { x } \cos { x } \quad dx$$

kann mir dazu jemand einen ausführlichen Lösungsweg beretistellen?

Grüße

Answer 1

mit sin(x)•cos(x) = 1/2 • sin(2x)  solltest du mit zweifacher partieller Integration (pI)zum Ziel kommen.

Bei der 1. pI  Ansatz:  u = x² , v ' = sin(2x)  → u' = 2x , v = - 1/2• cos(x),  dann reduziert sich x² auf x und bei der 2. pI kannst du das Restintegral bestimmen.

[ Kontrolllösung: 0,1763027594 ]

Gruß Wolfgang 

Comments

wie komme ich denn auf diese gleichung?

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Das ist eine allgemein bekannte Formel, die sich für x=y direkt aus dem Additionstheorem  sin(x+y) = sin(x)cos(y) + sin(y)cos(x)  ergibt. (Sie steht auch in jeder Formelsammlung.in der Form sin(2x) = 2• sin(x) • cos(x).

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unter welchem Stichwort findet man eine soche formel in der Formelsammlung? Ich bestize das Buch "Mathematische Formelsammlung für Ingeneure und Naturwissenschaftler"

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trigonometrische Formeln

Answer 2

allgemein gilt: sin(2x)= 2 sin(x) *cos(x)

--------->

= int x^2/2 sin(2x) dx

Das mußt Du 2 Mal partiell integrieren

Lösung:: ≈ 0.176

Comments

Ich denke, die Lösung ist  (π² - 4) /16 ≈  0.3668502750

Edit: zurückgezogen.

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die obere Grenze ist π/3 , dann erhalte ich mein Ergebnis

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Sorry,du hast recht, habe π/2 gelesen.

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was mache ich denn mit dem Teil, der bei der partiellen Integration vor das Integral kommt, wenn ich nochmal partiell INtegtriere? Muss ichdas multiplizieren?

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du rechnest das Restntegral aus und rechnest den "vorderen Teil" später dazu

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ich glaube ich habe schon bei der 1. partiellen Integration was falsch gemacht, kann das sein?

$$ \frac { 1 }{ 2 } \left[ { { \left( \frac { \Pi  }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }* }\frac { -\cos { 2\frac { \Pi  }{ 3 }  }  }{ 2 }  \right] -\int _{ 0 }^{ \frac { \Pi  }{ 3 }  }{ 2x* } \frac { -\cos { 2\frac { \Pi  }{ 3 }  }  }{ 2 } $$