Sinus Cosinus Schnittwinkel berechnen von y = cos x und y= sin(2x) in [0,π/2]. Trigonometrische Funktionen.

Question

Unter welchem winkel schneiden sich die Kurven y = cos x und y = sin 2x im Intervall 0<x<pi/2

Ich kann den schnittpunkt nicht berechnen nach dem taschenrechner...

wie bestimme ich die tangenten bei beiden???

Könnten Sie mir bitte helfen.. Ich weiss nicht wie man überhaupt den Winkel zwischen diesen Kurven berechnen soll... Vielleiecht mit dem EInheitskreis????

Answer 1

Skizze vorweg, damit du weisst, was zu berechnen ist.

1. Berechne die Schnittstellen durch gleichsetzen der beiden Funktionen.

Wie in der Skizze kommt in der Rechnung (vgl. Kommentar) etwas mehr als 0.5 (exakt π/3) und etwas mehr als 1.5 (exakt π/2) raus. (Der Schnittwinkel bei etwa 0.5 misst in der Skizze geschätzt ca. 70°, der andere ca. 45°)

2. Berechne die Ableitungen beider Funktionen an der Schnittstelle.

(cos x)' = - sin x         

m1 = -sin π/2 = -1

m2 = - sin π/6 = -0.5

(sin (2x))' = 2*cos(2x)

m3 = 2*cos (π/2) = 0

m4 = 2 cos (2*π/6) = 2 cos (π/3) = 1

3. Steigungswinkel der beiden Kurven bestimmen: Die beiden Zahlen aus 2. mit arctan in ° umwandeln.

 

(cos x)' = - sin x         

m1 = -sin 0 = -1     ---> 45°

m2 = - sin π/6 = -0.5      ----> -26.565°

(sin (2x))' = 2*cos(2x)

m3 = 2*cos (π/2) = 0   → 0°

m4 = 2 cos (2*π/6) = 2 cos (π/3) = 1 -----> 45°

4. Schittwinkel = Differenz der beiden gefundenen Winkel. Sollte ein stumpfer Winkel rauskommen: 180° - diesen Winkel berechnen.

Schnittwinkel bei x1= 0. m1- m3 = 45° = π/4

Schnittwinkel bei x2= π/6=30°. m4- m2 = 71.565° = 0.39758π

Rechenfehler bitte melden.

Comments

nun , wenn ich das gleichsetze bekomme ich veschiedene resulate:


x: -23.5619 , x: -5.75 ,x: -1.57, x:4.71, x: 13.09, X. 54.977


kann das sein??

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Ja. Du musst deinen Rechner auf Bogenmass umstellen oder das Intervall [0,π/2] auf Grad umrechnen.

[0°,90°] Du hast da aber etwas sonderbare Zahlen. Ist das für Punkt 1.?

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1. cosx = sin(2x)

cosx = 2 sinx cosx

0=cosx(2sinx-1)

cosx = 0 für x1=90° = π/2 = 1.570796, x3 =270°liegt schon ausserhalb des zu untersuchenden Bereichs.

2sinx = 1

sinx = 1/2 für x2=30°   = π/6 = 0.523599

Fortsetzung: Punkte 2. bis 4. für x1 und x2.

Eines gibt voraussichtlich ein Schnittwinkel von 0°.

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Eines gibt voraussichtlich einen Schnittwinkel von 0°.  Nein! Vgl. Rechnung oben.

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was bedeutet m1, m2 usw... ?

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was bedeutet m1, m2 usw... ?

m1, m2… sind die jeweiligen Steigungen. Erinnere dich an die einfachste Form einer Geradengleichung: 

y = mx + q     mit m Steigung  und q y-Achsenabschnitt.

Answer 2

cosx - sin(2x) = 0

Über eine Wertetabelle findet man 

x = pi/6 ∨x = pi/2 ∨ x = 5/6·pi

Ich probier das noch rechnerisch

cosx - sin(2x) = 0
cosx - (2 * sinx * cosx) = 0
cosx * (1 - 2sinx) = 0

cosx = 0
x = pi/2 ∨ x = 3/2*pi

1 - 2sinx = 0
sinx = 0.5

x = 5/6·pi ∨ x = pi/6

Skizze:

Comments

Ich sehe gerade es sollten nur die Schnittstellen bis x < pi/2 untersucht werden. D.h. es bleibt nur noch

x = pi/6
übrig. Kommst du jetzt alleine klar? Wenn du die Schnittstelle hast?