Hallo Plya,
zu 1) 2)
die Ableitungsfunktion ist ja noch nicht bekannt. Die Annahme ist jedoch, dass es sich um eine Exponentialfunktion handelt. Diese kann aber nicht von der Form
f′(x)=e1(x)=ax
sein, da dann f'(0)=1 sein müsste. Anhand des Graphen kann man aber erkennen, dass f'(0)≈0,7 ist, das wäre ein Widerspruch. Daher ist eine "kompliziertere" Form für die Exponentialfunktion anzunehmen, z.B.:
f′(x)=e2(x)=c⋅ax
Anders ausgedrück, man hatte überlegt ob gilt
f′(x)=ax
aber anhand des Graphens erkennen können, dass das nicht stimmen kann und daher eine andere Form für f'(x) überprüft.
Randnotiz:
e1(x)=e2(x)
wenn c = 1 ist. Das heisst, man hat einfach eine allgemeinere Exponentialfunktion genommen - also noch nicht mit einem schon bestimmten Wert für c - da sie mehr Parameter hat und daher genauer an den Graphen angenähert werden kann.
Genauso wie für die Parabelfunktion gilt:
p(x)=ax2+bx+c=x2
mit a=1, b=0 und c=0.
Beispiel:
Für folgende Parabel
Plotlux öffnen f1(x) = (x-1)2-1
kann man erkennen, dass sie exakt die gleiche Form hat wie
p1(x)=x2
Plotlux öffnen f1(x) = x2
jedoch im Koordinatensystem verschoben ist. Ihre Fuktionsgleichung ist
p2(x)=(x−1)2−1=x2−2x
zu 4.)
Für g(x)=f(x-0,5) gilt. Der Graph von g(x) ist gleich dem Graphen von f(x), jedoch um 0,5 in x-Richtung verschoben.
Für x=2 gilt g(2)=f(2-0,5) ⇔g(2)=f(1,5), d.h. den y Wert den ich bei f für x=1,5 erhalte, bekomme ich bei g erst für x=2, ich muss also weiter "nach rechts" gehen. Da dies für alle x gilt, ist der komplette Graph nach rechts verschoben.
Das haben sie hier an der Stelle ganz unten gemacht.
f(x)=2x
f(x−0,5)=2x−0,5
f′(x)=f(x−0,5)=2x−0,5...
Den Rest dieser Rechnung habe ich in der Antwort schon gepostet.
Beispiel mit Verschiebung um 2 nach rechts:
j(x)=−0,5x+3
j(x−2)=k(x)=−0,5(x−2)+3=−0,5x+1+3
k(x)=−0,5x+4
Am Graph kannst Du sehen, dass j(0)=3=k(2) und j(2)=2=k(4). Also die Gerade um 2 nach rechts verschoben ist.
Plotlux öffnen f1(x) = -0,5x+3f2(x) = -0,5x+4Zoom: x(-3…9) y(-2…6)
Ich hoffe Dir damit geholfen zu haben. Falls Du noch weitere Fragen hast, bitte einfach stellen.
Gruß