4 Fragen zu graphischen Ableitung

Question

:)

Ich hoffe jemand hat Zeit es sich durchzulesen und zum Helfen.

Ich habe eininge Fragen dazu, biite das herunterladen und dann scollen falls das etwas klein sein sollte.

1.) Warum ist das so, muss eine Ableitungsfunktion etwa simmer durch den Punkt 1I0 gehen??:                      Da die Ableitungsfunktion nicht durch den Punkt P (0I1) geht, müssen wird den Ansatz f´(x)=c*a^x verwenden.

2.) Wieso aber diesen Ansatz:f´(x)=c*a^x?

3.) Warum soll man das denn bei x=0 machen, wieos nicht x=2??: Ablesen der Steigung von f an der Stelle x=0 ergibt die Näherung c=0,7.

4.) Ich see das gar nicht an der Skizze, dass es genau 0,5 sind .:Am Graphen lässt sich eine Verschiebung um ca 0,5 in x-Richtung feststellen.

Answer 1

Hallo Plya,

zu 1)2)

Die Ableitungsfunktion muss nicht immer durch P(0|1) gehen, aber da hier eine Exponentialfunktion als Ableitung angenommen wird und für

$$ f'(x)=a^x $$ gelten würde $$ f'(0)= a^0=1 $$

Müsste auch f'(0)=1 sein. Da das nicht der Fall ist, muss zumindest ein zusätzlicher Faktor vor die Exponentialfunktion

$$ f'(x)= c \cdot a^x $$ wo dann gilt: $$  f'(0)=c $$

zu 3)

Mit der Annahme

$$ f'(x)= c \cdot a^x $$

kann man durch das Ablesen der Steigung von f an der Stelle x=0 ganz gut c ablesen, denn es gilt ja

$$ f'(0)= c \cdot a^0 = c \cdot 1 = c $$

Daraus folgt

$$ c \approx 0,7 $$

$$ f'(x)= 0,7\cdot a^x $$

zu 4)

Diese Verschiebung wird durch die roten Pfeile angedeutet. Die bedeutet, anscheinend hat man hier für alle f'(x) den gleichen Wert, den man bei f(x-0,5) hat.

Ich plotte am Ende mal als Beispiel eine Parabel und eine Gerade, jeweils mit der dazugehörigern Verschiebung um 1, bzw. -1.

Mit

$$ f'(x)=f(x-0,5) $$

erhält man für f'

$$ f'(x)=2^{x-0,5}= 2^x \cdot 2^{-0,5}= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2^x \approx 0,7 \cdot 2^x $$

Damit erhält man das gleich c wie bei der vorherigen Annahme.

Gruß

Beispiel Parabel

~plot~x^2;(x-1)^2;(x+1)^2;[[-6 | 6 | -1| 7 ]]~plot~

Beispiel Gerade Blau y=0,5*x; Gerade Grün y=0,5*(x+1); Gerade Rot y=0,5*(x-1)

~draw~ gerade(0|0 2|1);gerade(-1|0 1|1);gerade(1|0 3|1);vektor(2|1 -1|0 "-1");vektor(2|1 1|0 "+1");zoom(4) ~draw~

Comments

Dankeschön für die Hilfe.

Ich habe noch einige Fragen dazu.

1.) und 2.)

Müsste auch f'(0)=1 sein. Da das nicht der Fall ist, muss zumindest ein zusätzlicher Faktor vor die Exponentialfunktion
--
Aber wenn ich in die Ableitung 0 einsetzte kommt doch 1 raus, das hast Du doch auch berechnet oder?
f´(x)=a^x
f´(0)=a^0=1
Das ergibt eins..

4.)
Was meinst Du mit f(x-0,5) ? Was hat das zu bedeuten?

---

Hallo Plya,

zu 1) 2)

die Ableitungsfunktion ist ja noch nicht bekannt. Die Annahme ist jedoch, dass es sich um eine Exponentialfunktion handelt. Diese kann aber nicht von der Form

$$ f'(x)=e_1(x)= a^x $$

sein, da dann f'(0)=1 sein müsste. Anhand des Graphen kann man aber erkennen, dass f'(0)≈0,7 ist, das wäre ein Widerspruch. Daher ist eine "kompliziertere" Form für die Exponentialfunktion anzunehmen, z.B.:

$$ f'(x)=e_2(x)=c \cdot a^x $$

Anders ausgedrück, man hatte überlegt ob gilt

$$ f'(x)=a^x $$

aber anhand des Graphens erkennen können, dass das nicht stimmen kann und daher eine andere Form für f'(x) überprüft.

Randnotiz:

$$ e_1(x)=e_2(x) $$

wenn c = 1 ist. Das heisst, man hat einfach eine allgemeinere Exponentialfunktion genommen - also noch nicht mit einem schon bestimmten Wert für c - da sie mehr Parameter hat und daher genauer an den Graphen angenähert werden kann.

Genauso wie für die Parabelfunktion gilt:

$$ p(x)= ax^2+bx+c = x^2 $$

mit a=1, b=0 und c=0.

Beispiel:

Für folgende Parabel

~plot~(x-1)^2-1~plot~

kann man erkennen, dass sie exakt die gleiche Form hat wie

$$ p_1(x)= x^2 $$

~plot~x^2~plot~

jedoch im Koordinatensystem verschoben ist. Ihre Fuktionsgleichung ist

$$ p_2(x)=(x-1)^2 -1= x^2 -2x $$

zu 4.)

Für g(x)=f(x-0,5) gilt. Der Graph von g(x) ist gleich dem Graphen von f(x), jedoch um 0,5 in x-Richtung verschoben.

Für x=2 gilt g(2)=f(2-0,5) ⇔g(2)=f(1,5), d.h. den y Wert den ich bei f für x=1,5 erhalte, bekomme ich bei g erst für x=2, ich muss also weiter "nach rechts" gehen. Da dies für alle x gilt, ist der komplette Graph nach rechts verschoben.

Das haben sie hier an der Stelle ganz unten gemacht.

$$ f(x) = 2^x $$
$$ f(x-0,5) = 2^{x-0,5} $$

$$ f'(x)=f(x-0,5)=2^{x-0,5} ...$$

Den Rest dieser Rechnung habe ich in der Antwort schon gepostet.

Beispiel mit Verschiebung um 2 nach rechts:

$$ j(x) =  -0,5 x + 3 $$

$$ j(x-2)=k(x)= -0,5(x-2)+3= -0,5 x +1+3 $$

$$ k(x) = -0,5x +4 $$

Am Graph kannst Du sehen, dass j(0)=3=k(2) und j(2)=2=k(4). Also die Gerade um 2 nach rechts verschoben ist.

~plot~-0,5 x + 3; -0,5x +4;[[-3|9|-2|6]]~plot~

Ich hoffe Dir damit geholfen zu haben. Falls Du noch weitere Fragen hast, bitte einfach stellen.

Gruß