Lösung einer DGL 2. Ordnung mit dem graphischen Verfahren!

Question

Aufgabe:

Lösung einer DGL 2. Ordnung mit dem graphischen Verfahren:

y''-6y'+5y=e^2x

Problem/Ansatz:

http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Graphische%20Integration.html

y''(y'')-36y'(y')+25y(y)=e^{2e^(2x)}

y(y)=r(x)*y'(y'), daraus folgt:

y''(y'')-36y(y)*1/r(x)+25y(y)=e^{2e^(2x)}

Ansatz: y(y)=e^{ke^(nx)} nx=ke^(nx) y=k/n*e^(nx) y'=ke^(nx) y'(y')=ke^{kne^(nx)}

daraus folgt: r(x)=y(y)/y'(y')=e^{ke^(nx)}/ke^{kne^(nx)}=1/ke^{ke^(nx)}    (n=2!!!!!, siehe Ansatz!)

y''=kne^(nx)   y''(y'')=kne^{kn^2*2e^(nx)} , daraus folgt

2k^{4ke^(2x)}-36ke^{2ke^(2x)}+25e^{ke^(2x)}=e^{2e^(2x)}

2x=4ke^2x x=2ke^2x=y''

2x=2ke^2x x=ke^2x=y'

2x=ke^2x    x=1/2ke^2x=y, daraus folgt:

y''-6y'+5y=e^2x

2k-6k+5/2k=1

k=-2/3      n=2

y=k/ne^nx=-1/3e^2x

Probe: e^2x=e^2x

Damit wurde die DGL nach meiner graphischen Variante gelöst, damit sind meines Erachtens nach alle DGL's lösbar, durch den von mir oben gemachten Ansatz für y(y), da dieser die Eigenschaft der "Gesamtschwingung" hat!

Vielleicht kann mir ja jemand mal eine richtig schwere DGL "vorsetzen" und ich versuche Sie mit diesem Verfahren zu lösen!

, Bert Wichmann

Answer 1

Ich sehe bei Dir die Lösungen \( e^{5x} \) und \( e^x \) nicht sondern nur die partikuläre Lösung. Das ist aber nicht die allgemeine Lösung.

Comments

Erkläre, wo die homogenen Lösungen in Deiner Lösung vorkommen. Denn die allgemeine Lösung lautet

$$ y(x) = A e^{5x} + B e^x - \frac{1}{3} e^{2x} $$

Die Konstanten \( A \) und \( B \) werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt.

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Wie liest du Antworten, warum reagierst du nicht darauf, die Antwort hatte nichts mit programmieren zu tun ob ich oder ullim das kann weisst du nicht, wir beide können diese Dgl in etwa 3 Zeilen lösen, darauf sind wir nicht stolz, das haben wir mal gelernt, und das war nicht schwer.

eine  homogene Dgl 2 ter Ordnung hat als allgemeine Lösung immer die Form A*f(x)+B*g(x), ist sie wie bei dir einhomogen, so kommt dazu noch eine spezielle Lösung der einhomogenen, hier dein -1/3e^^2x. Wenn man sich etwas auskennt mit solchen einhomogenen Dgl finde man diese spezielle Lösung indem man ansetzt y=C*e^2x, einsetzt und C bestimmt. für Physiker, die mit solchen Dgl umgehen, ist diese spezielle Lösung fast nie interessant. man will zu allen möglichen Anfangsbedingungen also y(0)=y0 und y'(0)=v0 eine Lösung finden.

für solche linearen Dgl gibt es Standardverfahren sie  allgemein zu lösen, die auf jeden Fall schneller ist als deine Methode sind. (die habe ich nicht überprüft)

allerdings stören mich Gleichungen wie x=k*e^2x schon, denn das ist eine Bestimmungsgleichung für x mit k=-1/3 x=-0,22.., die dann irgendwie ohne dieses x zu bestimmen zu y' wird.

aber du wolltest ne schwierige Dgl, vielleicht erst mal ne einfache: y'(x)=tan(x)

und wenn du weiter unflätige oder Nazi Parolen schreibst war das die letzte Antwort.

lul