Relationen R:={( x, y) | x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ Λ x < y} ... Eigenschaften? Reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch...?

Question

für die Uni muss ich folgende Aufgaben rechnen, allerdings verstehe ich noch nicht ganz wie genau man die Relation auf die unten angegebenen Aufgaben bezieht. Auf dem "Trockenen" sind sie mir geläufig, wenn es dann aber an "echte" Aufgaben geht, stehe ich auf dem Schlauch. Ich hoffe einige von euch können mir da weiterhelfen. Vielen Dank schonmal im Voraus :) 
  Welche Eigenschaften sind vorhanden? ( Reflexivität, Symmetrie, Asymmetrie, Antisymmetrie, Transivität) 
a) R:={( x, y) | x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ Λ x < y} 
b) S:= {( x, y) | x ∈ Z ∧ y ∈ Z Λ x + y ist ungerde} 
 c) xDy: ⇔ y = _D y in ℕ × ℕ; mit y= (a, b) = _D (c, d) = y ⇔ a + d = b + c

Answer 1

a)  reflexiv hieße ja:  Für alle x  aus IR gilt   x<x.  Ist offenbar falsch

symmetrie hieße:  wenn   x<y dann auch y<x .   auch falsch

asymmetrie :     wenn x<y dann nicht  y<x.  Das ist richtig

antisymm. :.     wenn x<y und y<x dann muss x=y sein. Das ist wahr, weil die Vor. immer falsch ist.

transitiv:  wenn x<y und y<z dann auch x<y  . Das  ist wohl wahr.

versuch mal die anderen und stell ein Ergebnis ein.

Answer 2

Ich versuche mich mal an der b) :)

Reflexiv: Nein, da nicht für alle x aus Z gilt: x+x ist ungerade. Gegenbeispiel : 1+1 = 2

Symmetrisch: Nein, da nicht für alle x,y aus Z gilt, dass x+y ungerade ist und somit daraus auch nicht folgt, dass y+x ungerade ist. Gegenbeispiel: 0 + 2 ist gerade und daraus folgt, dass 2 + 0 gerade ist.

Antisymmetrisch: Wenn x + y ungerade, dann muss auch y + x ungerade gelten. Daraus folgt x = y. Auch dass ist nicht der Fall, denn wenn wir x = y setzen, erhalten wir keine ungerade Zahl.

Ich bin am üben, bitte korrigiert mich. :)

Comments

Hi,

dass die Relation nicht reflexiv ist hast du richtig erkannt aber:

Die Relation ist symmetrisch. Du scheinst noch ein kleines Verständnisproblem zu haben.

Symmetrie bedeutet nicht, dass alle Elemente in Relation stehen sollen (d.h. es bedeutet hier nicht, dass die Summe zweier beliebiger ganzer Zahlen immer ungerade sein muss) sondern, dass wenn a in Relation zu b (a,b jeweils aus der Grundmenge) steht (das ist die Voraussetzung), dann steht auch b in Relation zu a und das ist hier gegeben, denn für zwei ganze Zahlen x,y:

wenn x+y ungerade ist, dann gilt wegen der Kommutativität der Addition ganzer Zahlen, sprich wegen x+y=y+x, dass auch y+x ungerade ist.

Gruß