Äquivalenzrelationen. Sind die Relationen R auf der Menge M reflexiv (bzw. symmetrisch, transitiv, ...?

Question

Entscheiden Sie in jedem der folgenden Fälle, ob die Relation R auf der Menge M reflexiv (bzw.

symmetrisch, transitiv, eine Äquivalenzrelation) ist.

(a) M = die Menge aller Menschen auf der Erde,

      R = {(x, y) ∈ M × M | x und y sind Geschwister}.

(b) M = Z, R = {(x, y) ∈ Z × Z | x²= y²}.

(c) M = R, R = {(x, y) ∈ R × R | xy > 0}.

(d) M = P(N), R = {(x, y) ∈ M × M | x ∩ y = ∅}.

Answer 1

(a) symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv (man kann ja nicht sein eigener Bruder oder Schwester sein...hier lass ich mich gerne belehren)

(b)  ist eine Äquivalenzrelationen (also reflexiv, transitiv und symmetrisch)

(c) ist symmetrisch und transitiv aber nicht reflexiv.

(d) symmetrisch, aber nicht reflexiv und nicht transitiv

Edit: (c) ist keine Äquivalenzrelation.

Comments

Danke :) das ist sehr hilfreich nur was meinen sie genau .. "ich lass mich gerne belehren" ?

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Nur ein Scherz.....

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Könnte Antwort c) bitte etwas näher erläutert werden? xy > 0 => yx > 0? Ist die Relation hier die Multiplikation?

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Nein, hier stehen jeweils zwei reelle Zahlen in Relation zueinander, wenn ihr Produkt größer als 0 ist. Da die Multiplikation kommutativ ist, ist die Relation symmetrisch.

Was ich aber übersehen habe: Die Relation c) ist keine Äquivalenzrelation, da sie nicht reflexiv ist, weil 0^2 nicht größer als 0 ist. 

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Danke, was genau stimmt an meiner Argumentation nicht? Aus xy > 0 folgt yx > 0, daher symmentrisch. Oder nicht?

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Das Nein bezieht sich auf "...ist die Relation die Multiplikation". Dein Argument ist schon richtig, wobei so wirklich ist das ja kein Argument (eigentlich ausreichend, da offensichtlich) aber mal um den ganz pingeligen zu spielen:

Warum genau folgt das eine denn nun aus dem anderen? :)

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Ah, ich verstehe. Ich dachte die Multiplikation an sich stellt die Relation zwischen zwei Zahlen dar. Wenn also das Produkt zweier Zahlen > 0 ist, stehen Sie in Relation. Das eine folgt aus dem anderen, weil der Wahrheitswert (unter Anwendung des Kommutativgesetzes) derselbe ist oder?

Transitiv da aus xy > 0 und yz > 0 folgt xz > 0?

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Ja genau wegen dem Kommutativgesetz. Zur Transitivität:

Das ist an sich auch nur die Behauptung, hier gilt wieder: Warum folgt das denn?

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Wenn ich 3 Werte habe, die jeweils miteinander multipliziert > 0 sein sollen, darf keiner von ihnen = 0 sein. Somit ist es egal, in welcher Reihenfolge ich die Werte miteinander multipliziere und y*z ist zwangsläufig auch > 0?

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Du weißt ja nicht, dass \(xz >0\) ist du sollst das ja zeigen. 
Ein Weg wäre zum Beispiel sich einfach eine Fallunterscheidung vor Augen zu führen:
y>0 daraus folgt sofort, dass x>0 und z>0 und somit auch xz>0.
y<0 daraus folgt analog, dass x <0 und z<0 und somit ist xz >0.
Hier wird aber auch schon verwendet, dass ab>0 genau dann wenn a,b>0 oder a,b<0 gilt (was man aber bis zu diesem Punkt eigentlich schon gezeigt haben müsste).
Das sind natürlich selbstverständliche Basics, aber der Sinn solcher Aufgaben ist es meistens am Anfang selber nochmal mit diesen klar zu kommen und den sicheren Umgang zu lernen.

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Die richtige Antwort wäre hier also nicht zu sagen aus xy > 0 und yz > 0 folgt xz > 0, sondern zu sagen, dass wenn x > 0 muss auch y > 0 und z > 0 gelten und daraus folgt xz > 0 ?

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Nein, die richtige Vorgehensweise ist sich klar zu machen:

1) Was soll gezeigt werden? In diesem Fall das hier:

 aus xy > 0 und yz > 0 folgt xz > 0

2) Wie kann ich es beweisen?.

 wenn x > 0 muss auch y > 0 und z > 0 gelten und daraus folgt xz > 0

Das reicht nicht aus um die 1) in seiner Allgemeinheit zu zeigen!

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Alles klar, nochmal vielen Dank. Ich muss in unserer DMI Klausur zum Glück nur Gegenbeispiele aufführen, falls eine Eigenschaft nicht gültig ist. Für das Verständnis ist es natürlich trotzdem Grundwissen. Ich denke da werden noch einige Fragen folgen... :)

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(a) ist meines Erachtens *nicht* transitiv.  Denn wenn A den Bruder B hat, und B hat den Bruder A, dann ist noch lange nicht A der Bruder von A.