Funktionen f(x)= (x + 3/2 a)^2 + 5 und g(x)= (3a - 1)*x + 5 auf Schnittpunkte untersuchen

Question

Ich finde nicht diese Lösung und ich weiß nicht, wie ich dieser Schnittpunkt finden kann.

Aufgabe:

Sei a ∈ R. Untersuchen Sie die Funktionen

f(x)= (x + ³/₂ a)^2 + 5  und  g(x)= (3a - 1)*x + 5

auf Schnittpunkte. Für welche Werte von a gibt es keinen, genau einen bzw. zwei Schnittpunkte?

Kurze  Lösungshinweise:

Fallunterscheidung  liefert:
                                           
• für a = ± ¹/₃ genau einen Schnittpunkt: S₁ = {− ¹/₃ , ¹/₃ }

• für − ¹/₃ < a < ¹/₃ gibt es zwei Schnittpunkte: S₂ =] − ¹/₃ , ¹/₃ [

• sonst keinen Schnittpunkt: S₀ =] − ∞, − ¹/₃ [   ∪  ] ¹/₃ , ∞]

Comments

Grundsätzlich musst du Schnittstellen berechnen, indem du

(x + ³/₂ a)² + 5 = (3a - 1)*x + 5

 

nach x auflöst.

Nach einigen Umformungen kommst du auf eine quadratische Gleichung für x.

Nun betrachtest du erst mal die Diskriminante (=Term unter der Wurzel). Versuch das schon mal.

Answer 1

f(x)= (x + 1.5 a)² + 5 = x^2 + 3ax + 2.25a^2 + 5
g(x)= (3a - 1)*x + 5 = 3ax - x + 5

f(x) = g(x)
x^2 + 3ax + 2.25a^2 + 5 = 3ax - x + 5
x^2 + 2.25a^2 = -x
x^2 + x + 2.25a^2 = 0

Mit der pq-Formel bekommt man für x

x = -0.5 ± √(0.25 - 2.25a^2)

Keinen Schnittpunkt für 

0.25 - 2.25a^2 < 0
a < -1/3 oder a > 1/3

Einen Schnittpunkt für 

0.25 - 2.25a^2 = 0
a = ±1/3

Zwei Schnittpunkte für 

0.25 - 2.25a^2 > 0
-1/3 < a < 1/3