Ich appelliere an die ===> Fermatsche Extremwertbedingung, aus welcher das ===> Snelliussche Brechungsgesetz folgt.
" Gott der Herr hat jedes Photon mit einem Zentralnervensystem ausgestattet. Daher wenn es von Punkt A ( Luft ) nach Punkt B ( Wasser ) will, bedenkt es, dass es einen Knick machen muss, da es unter Wasser langsamer sein muss und die gesamte Wegstrecke in Zeit sparender Art und Weise zurück legt. "
Die Lösung dieser Extremwertaufgabe findet ihr in allen Physikbüchern vorgerechnet; ich schmeichle mir allerdings, eine besonders symmetrische und schöne Lösung angegeben zu haben Marke Eigenbau mit vier Variablen: den beiden Wegstrecken s1;2 in Luft / Wasser so wie einfallswinkel ß1 und Brechungswinkel ß2. Dies bedeutet nur scheinbar einen Mehraufwand, effektiv ist es weniger, wie sich heraus stellt. Denn mit dem Verfahren des Giuseppe Lodovico Spagettix Lagrangia da Torino kriegst du bekanntlich beliebige Nebenbedingungen in den Griff; der Schwerpunkt liegt jetzt allerdings auf einer wie gesagt besonders ästetischen Darstellung. Und dafür gibt es eben keine Regeln wie bei Stilfragen überhaupt.
Mir haben sie hier gehörig die Flügel gestutzt; an sich habe ich nämlich schon alles Nötige gesagt. Von den oben eingeführten Variablen geht nämlich der Einfallswinkel ß1 in des Wortes wahrer Bedeutung den Bach runter, weil wir ja auf dem Fluss, sprich Grenzfläche fahren. Keine Berührungsängste; es wird alles ganz einfach.
Auf dem Fluss lege ich den Weg s1 zurück und an Land nach dem Abspringen s2. Startpunkt und Zielpunkt sind mir hier genau so vorgegeben wie bei Fermat selig auch. Die gesamte Reisezeit beträgt
T ( s1 ; s2 ) = s1 / v1 + s2 / v2 ( 1a )
Ich multipliziere noch alles mit dem Hauptnenner durch, um die lästigen Brüche zu vermeiden.
t ( s1 ; s2 ) := v2 s1 + v1 s2 = min ( 1b )
v2 möge die zu s1 reziproke Geschwindigkeit heißen und umgekehrt. Da wir ja noch den Winkel ß einführen werden, benötigen wir zwei Nebenbedingungen. In der Zeichnung ist ja schon alles nach Horizontal und Vertikal zerlegt:
G1 ( s1 , s2 ; ß ) := s1 + s2 cos ( ß ) = 60 = const ( 2a )
G2 ( s2 ; ß ) := s2 sin ( ß ) = 10 = const ( 2b )
Die beiden ===> Lagrangeparameter von ( 2ab ) mögen ( - k1;2 ) heißen - das Minuszeichen nur aus Gründen der Konvention. Dann muss ich also die Linearkombination bilden
H ( s1 , s2 ; ß ) := t ( s1 ; s2 ) - k1 G1 ( s1 , s2 ; ß ) - k2 G2 ( s2 ; ß ) ( 3 )
Notwendige Bedingung für Extremum: Der Gradient von ( 3 ) verschwindet.
H_s1 = v2 - k1 = 0 ( 4a )
k1 = v2 ( 4b )
Wir leiten H nach s2 ab und setzen ( 4b ) ein
H_s2 = v1 - k1 cos ( ß ) - k2 sin ( ß ) = 0 ( 5a )
v2 cos ( ß ) + k2 sin ( ß ) = v1 | * cos ( ß ) ( 5b )
Nochmal, weil's so schön war: Ableiten nach ß ; ( 4b ) einsetzen .
H_ß = s2 [ k1 sin ( ß ) - k2 cos ( ß ) ] = 0 ( 6a )
v2 sin ( ß ) - k2 cos ( ß ) = 0 | * sin ( ß ) ( 6b )
Den Dummy k2 müssen wir eliminieren; zum Einsatz kommt das Additionsverfahren ( 5b ) + ( 6b ) Die Umformungsschritte in ( 5b;6b ) habe ich wie üblich vermerkt. Dann überlebt links ein Faktor v2 ; bitte um freundliche Beachtung der Pythagoras-Identität.
v2 = v1 cos ( ß ) ( 7 )
Was heißt das jetzt? Du könntest vom Land aus das Lot auf den Fluss fällen. Oder noch besser: Du errichtest über dem Fluss den Taleskreis. Dann entspricht die Hypotenuse v1 , also dem Fluss. Und die Katete an Land, die Projektion von v1 , ist gleich v2 . Man soll sich da nicht täuschen; v1 und v2 waren ja vorgegebene Konstanten. Das ergibt nämlich eine Bedingung an die Größe dieses Winkels ß ; in deinem konkreten Zahlenbeispiel müsste lauten cos ( ß ) = 1/3
