Diagonalgestalt einer Matrix

Question

Gibt es eine Basis des ℚ - Vektorraums ℚ² , für welche die Matrix

\( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 0\end{array}\right) \)

der Abbildung f_A: ℚ² → ℚ² , x ↦ Ax Diagonalgestalt besitzt?

Wenn ja, bestimme eine solche Matrix.

Wie muss ich da vorgehen und woher weiß ich dass das überhaupt so ist?

Answer 1

Die Matrix  A  hat keine rationalen Eigenwerte, d.h. das charakteristische Polynom von  A  zerfällt in  ℚ  nicht in Linearfaktoren. Deshalb kann es eine derartige Basis nicht geben.

Comments

Ok danke.

und was ist wenn es eine bilinearform 

b_A: ℚ² x ℚ² -> ℚ , (x,y) -> x^TAy

mit der gleichen Aufgaben?

wie geht man da vor???

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Was soll denn hier diagonalisiert werden?

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Auch wieder Matrix von oben...