Gruppen- und Körperhomomorphismus

Question

Ich könnte etwas Hilfe bei folgenden Aufgaben gebrauchen.

Ich bedanke mich schonmal im Voraus!!!

1. Seien (G, ο), (G' , ο' ) Gruppen und sei ϕ : G → G' ein Gruppenhomomorphismus.

     Beweisen Sie ϕ ist injektiv ⇐⇒ Kerϕ = e_G.

2. Seinen K und K' Körper und ϕ : K → K0 ein Körperhomomorphismus. Beweisen Sie, dass ϕ injektiv ist.

Answer 1

1.

wegen F(x) = F( x+e_G ) = F(x) + F(e_G) für alle x aus G

ist  F(e_G) = e_G'   also e_G ∈ Kern(F)  

Seien nun x aus Kern F, dann ist auch F(x) = e_G' und F(e_G) = e_G'

und wegen der Injektivität als e_G = x .

wenn umgekehrt  Kern(F) = {e_G} ist,   und x,y aus G mit

F(x) = F (y) , dann F(x)-F(y) = e_G' 

        also  wegen Hom  F(x-y) = e_G' 

also  x-y = e_G    und damit  x=e_G + y = y .  q.e.d.