Hier wie geht man eine Kurvendiskussion an? Ableiten is noch lange nich. Hier leisten uns schon mal die Nullstellen Wert volle Hilfe. Die e-Funktion hat bekanntlich keine. Diskutieren wir daher den polynomialen Faktor
g ( x ) = x ² + 4 x + 2 ( 1 )
Was man euch systematisch verschweigt: die cartesische Vorzeichenregel ( CV ) Gleich für x > 0 brettert die CV auf einen Entartungsfall; hier wie soll denn eine Summe aus lauter positiven Termen Null werden? Asymptotisch für x ===> ( + °° ) geht f ( x ) gegen Unendlich wie die e-Funktion; auf |R existiert kein globales Maximum. Nachher beim Ableiten werden wir eher keine ( lokalen ) Extrema erwarten - und wenn, dann sind es Wellen, Überschwinger außer der Reihe. Lassen wir uns überraschen.
Für x < 0 hüllt sich die CV wie üblich in sibyllinisches Schweigen entsprechend der Frage: hat unsere quadratische Gleichung reelle Wurzeln?
Bist du schon mal in eine Algebravorlesung gegangen? Es muss nicht gleich die Quadratur des Kreises oder das Regel mäßige ===> 257-Eck ( "Diakosia_Peninda_Heptagon " ) sein; ich meine so ganz einfache Grundkenntnisse.
" Bei einem quadratischen Polynom stellt sich die Alternative: Entweder es ist prim, das ===> Minimalpolynom seiner Wurzeln. Oder es zerfällt eben in zwei rationale Linearfaktoren. "
Schau doch mal, was Pappi alles weiß. Algebra beschäftigt sich mit zwei Grundfragen; erstens. Welche rationalen Wurzeln kann ein Polynom haben? ( Dat annere Problem krieste speeter. )
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )
Die Behauptung aus Wiki, der SRN gehe auf Gauß zurück, stellt eine dreiste Fälschung dar.
1) Gauß ist doch Kult; die meisten Profs / Lehrer haben bis Heute noch nie davon vernommen.
2) Mit dem SRN lässt sich ein Zwei-Zeilen-Beweis führen, dass Wurzel ( 2 ) irrational. Warum ist in den letzten 200 Jahren keiner darauf gekommen?
3) Wiki kennt keinen Nachweis vor dem ( wahrscheinlichen ) Entdeckungsjahr 2006. Als seriös gelten alleine v.d. Waerden und Artin ( 930 ) Dort wirst du vergebens nach dem SRN suchen.
Du hast verstanden: ( 1 ) könnte wenn überhaupt rationale, so nur die Wurzeln ( - 1 ) so wie ( - 2 ) haben.
Warum gehe ich so ausführlich auf diesen Punkt ein? Schon seit 1880 gibt es den Zwillingsbruder des SRN , den ===> Eisensteintest. Das ist genau wie in der Medizin; Test negativ bedeutet noch lange nicht, dass du gesund bist. Und ( 1 ) testet eben positiv mit Eisensteinzahl
p ( g ) = 2 ( 2 )
Es kann nur " krumme " Mitternachtswurzeln geben.
Fälschungen aufzuspüren, ist ja ein Beruf für sich. Was du da alles wissen musst. Genau wieder. Wäre der SRN schon seit Gauß geläufig, wäre bestimmt diese enge Wechselbeziehung zwischen Eisenstein und SRN aufgefallen - nichts.
Wie üblich lösen wir ( 1 ) mit der Mitternachtsformel ( MF )
x1;2 = - 2 -/+ sqr ( 2 ) ( 3 )
Ich nenne das immer Grobskizze; aus den Nullstellen lässt sich die Lage der Extrema schon ganz gut abschätzen. Rechts von x2 ist der Graf positiv ( Wir kommen von Rechts; da sind wir nämlich sicher, was passiert. ) In x2 überquert die Kurve die Abszisse Richtung Minus, dann in x1 erneut Richtung Plus. Zwischen x1 und x2 erwarten wir ein Minimum.
Bei der Asymptotik x ===> ( - °° ) musst du beherzigen: Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom; f ( x ) verebbt in ( + 0 ) Damit ergibt sich folgender Slalom:
x1 ( w ) < x ( max ) < x1 < x ( min ) < x2 < 0 ( 4 )
Die erste Ableitung bilden wir mit der Metode des ===> logaritmischen Differenzierens, einer Sonderform des ===> impliziten Differenzierens. Die Rechenstufe wird um Eins erniedrigt; insbesondere die e-Funktion werden wir los.
ln ( y ) = 2 x + ln ( x ² + 4 x + 2 ) ( 5a )
2 x + 4
y ' / y = 0 = 2 + ------------------------------ | : 2 ( 5b )
x ² + 4 x + 2
x + 2
1 + ------------------------------ = 0 ( 5c )
x ² + 4 x + 2
Den Schritt ( 5c ) habe ich deshalb so ausführlich, weil es bei mir Strafpunkte hageln würde ohne Ende. Kürzen ist wichtiger als zusammen Fassen; ja auch wichtiger als Multiplikation mit dem Hauptnenner.
Deine Bestimmungsglöeichung stimmt
h ( x ) = x ² + 5 x + 4 = 0 ( 6a )
Spielen wir doch gleich mal den SRN durch; du hast nämlich den Satz von Vieta
p = x ( max ) + x ( min ) = ( - 5 ) ( 6b )
q = x ( max ) x ( min ) = 4 ( 6c )
Wir wissen aber, dass wir in ( 6c ) nur ganzzahlige Zerlegungen zulassen dürfen - die triviale 4 = ( - 1 ) * ( - 4 ) so wie die nicht riviale 4 = ( - 2 ) * ( - 2 ) Letztere entfällt, weil die beiden Wurzeln TEILER FREMD sind. Woher weiß ich jetzt das auf einmal wieder? Maxchen wir erst mal fertig. ( 6b ) wird erfüllt
x ( max ) = ( - 4 ) ; x ( min ) = ( - 1 ) ( 6d )
Aber ist auch Abschätzung ( 4 ) erfüllt? Nein ich bin nicht so tolerant wie dein Lehrer; der TR bleibt schön in der Schublade. Wir machen das allein mit Zahlenteorie. Zweierlei ist zu zeigen
| x1 | < | x ( max ) | ( 7a )
2 + sqr ( 2 ) < 4 ( 7b )
( 7b ) aus ( 3;6d ) Ich habe da eine Taktik gefunden, die tot sicher zum Ziel führt: Aufrunden des Radikanden bis zur nächst höheren Quadratzahl.
2 + sqr ( 2 ) < 2 + sqr ( 4 ) = 4 ( 7c ) wzbw
Analog
| x2 | < | x ( min ) | ( 8 )
nur mit dem kleinen Unterschied, dass wir in ( 8 ) wegen der negativen Wurzel zur nächst NIEDRIGEREN Quadratzahl abrunden müssen.
Es bleibt allerdings noch zu zeigen | x ( min ) | < | x1 | ( trivial )
Wie war das jetzt mit dem ggt? Gleich in der Woche im Jahre 2011, als ich aus dem Internet vom SRN erfuhr, machte ich drei Entdeckungen; u.a. auch diese.
Sei m ein Teiler; dann folgt aus Vieta in ( 6a )
m | x ( max / min ) <===> m | p ; m ² | q ( 9a )
Ein m , das die rechte Seite von ( 9a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms h in ( 6a ) heißen - K wie Koeffizient. Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt . die Behauptung
ggt x ( max / min ) = gkt ( h ) ( 9b )
Die Antworten auf deine Fragen. x ( min ) = ( - 1 ) ist das absolute Minimum auf ganz |R , weil wir gesagt hatten: Nur auf dem Intervall ( x1 , x2 ) ist deine Funktion negativ.
( max Zeichen )
