Das geht mit dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion
f(x) = y = cos(x) dann gilt für die Abl der Umkehrfkt f -1 ' (y) = 1 / f ' (x)
und mit y=cos(x) und cos ' (x) = - sin (x) wäre das
f -1 ' (y) = - 1 / sin(x) und wegen sin ^2 (x) + cos^2 (x)
= 1 ist ja sin(x) = wurzel ( 1 - cos^2 (x) ) = wurzel ( 1 - y^2 )
also f -1 ' (y) = - 1 / wurzel sin(x) = -1 / wurzel ( 1 - y^2 )
oder eben f -1 ' (x) = -1 / wurzel ( 1 - x^2 )
also arccos ' (x) = -1 / wurzel ( 1 - x^2 )