Bestimmen sie die Ableitung von arccos: ]-1,1[→]0,π[.

Question

kann jemand mir helfen?
Bestimmen sie die Ableitung von arccos: ]-1,1[→]0,π[.

Answer 1

Das geht mit dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion

f(x) = y = cos(x)  dann gilt für die Abl der  Umkehrfkt f ^-1 '  (y) = 1 / f ' (x)

und mit y=cos(x)   und  cos ' (x) = - sin (x) wäre das

f ^-1 '  (y) = - 1 / sin(x)    und   wegen   sin ^2 (x) + cos^2 (x)

= 1 ist ja sin(x) = wurzel ( 1 - cos^2 (x) )  =  wurzel ( 1 - y^2 )

                                                                                     

also   f ^-1 '  (y) = - 1 / wurzel sin(x)  = -1 / wurzel ( 1 - y^2 )

oder eben  f ^-1 '  (x) = -1 / wurzel ( 1 - x^2 )

also arccos ' (x) = -1 / wurzel ( 1 - x^2 )

Answer 2

vielleicht so:$$y(x)=\arccos x$$$$\cos y(x)=x$$$$-y'(x)\cdot\sin y(x)=1$$$$y'(x)=-\frac1{\sin y(x)}=-\frac1{\sqrt{1-\cos^2y(x)}}=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}.$$