Aloha :)
Funktion und Umkehrfunktion hintereinander ausgeführt, heben ihre Wirkung gegenseitig auf. Wen wir also auf die \(\arccos\)-Funktion die \(\cos\)-Funktion aufwenden, erhalten wir als Ergebnis das Argument der \(\arccos\)-Funktion:
$$\cos(\,\arccos(x)\,)=x\quad;\quad\text{für alle }x\in[-1;1]$$
Die \(\arccos\)-Funktion ist von \([-1;1]\) definiert und liefert Werte von \([0;\pi]\), auf die dann wiederum die \(\sin\)-Funktion wirken kann, die ja über ganz \(\mathbb R\) definiert ist. Von den Definitions- und Wertebereichen der Funktionen passt also alles. Da der obigen Zusammenhang für alle \(x\) aus dem Definitionsbreich gilt, müssen auch die Ableitungen beider Seiten unabhängig voneinader identisch sein. Links leiten wir mit der Kettenregel ab, die Ableitung der rechten Seite ist gleich \(1\).$$\underbrace{-\sin(\,\arccos(x)\,)}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\arccos'(x)}_{=\text{innere Abl.}}=1$$Diese Formel können wir nun nach der Ableitung der \(\arccos\)-Funktion umstellen:$$\arccos'(x)=\frac{1}{-\sin(\,\arccos(x)\,)}=\frac{-1}{\sqrt{\sin^2(\,\arccos(x)\,)}}=\frac{-1}{\sqrt{1-\cos^2(\,\arccos(x)\,)}}$$$$\phantom{\arccos'(x)}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$$
