Bestimme näherungsweise die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0=2 mithilfe des Differenzenquotienten für kleine h.

Question

In meinem Buch steht (Bsp.) Als Differenzenquotienten erhält man für

h = 0,1: (f(1+0,1) - f(1)) / 0,1 =-0,91

ich habe auch meinen Lehrer gefragt wie man auf das Ergebnis kommt, weil wenn man es genau so ausrechnet wie es da steht dann bekommt man ja nur das Ergebnis 1. Er meinte man muss es in die Funktion einsetzten.

1: In welche Funktion?

2: Wie setzt man das genau ein und rechnet es dann wie aus?

3: Das ist ein Beispiel für f(x)= x^2. Wie rechnet man das dann wenn man zum Beispiel    f(x)= 2/x     oder     f(x)=4x-x^2   gestellt bekommt?

und ich wäre dankbar für Lösungsansätze ohne den Limes da wir den in unserem ganzen buch nicht einmal drin haben

Vielen Dank schon im Voraus

Answer 1

> 1: In welche Funktion?

In die Funktion, von der man die Ableitung berechnen will. Das ist laut deiner Aussage f(x) = x²

> Wie setzt man das genau ein und rechnet es dann wie aus?

Gegeben ist die Funktion f(x) = x². In diesem Zusammenhang ist f der Name der Funktion, das geklammerte x hinter dem Funktionsnamen gibt an, dass x die unabhängige Variable ist. Rechts vom Gleichheitszeichen steht der Funktionterm, in diesem Falle x².

f(1+0,1) wird berechnet, indem im Funktionsterm die unabhängige Variable durch (1+0,1) ersetzt wird. Dadurch bekommt man (1+0,1)². Also ist f(1+0,1) = (1+0,1)² = 1,1² = 1,21.

> Wie rechnet man das dann wenn man zum Beispiel ... f(x)=4x-x² gestellt bekommt?

(f(1+0,1) - f(1)) / 0,1

= (f(1,1) - f(1)) / 0,1

= ( (4·1,1 - 1,1²) - (4·1 - 1²) ) / 0,1

Comments

Okay vielen dank

Eine frage hätte ich da allerdings noch

Wenn man dann auf 1,21 kommt, warum heißt es in meinem buch dann dass das Ergebnis -0,91 ist ?

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Es muss noch f(1) abgezogen werden und diese Differenz muss durch 0.1 dividiert werden. Es soll ja schließlich (f(1,1) - f(1)) / 0,1 berechnet werden, und nicht nur f(1,1).

Das heißt auch, dass es sich bei f nicht um f(x) = x² handeln kann. Da kommt nämlich dann 2,1 raus.

Answer 2

Hier meine Berechnungen und eine
erklärende Skizze