Ist X nach oben beschränkt und ist S die Menge aller oberen Schranken von X, so ist S nach unten beschränkt

Question

Aufgabe:Ist X nach oben beschränkt und ist S die Menge aller oberen Schranken von X,so ist S nach unten beschränkt und es gilt inf(S) = sup(X).Hat jemand eine Idee wie man das lösen kann? Die Aussage verstehe ich, nur bekomme ich keinen Beweis hin.Ein Ansatz wäre "Beweis durch Widerspruch". Aber wie genau?

Answer 1

Aufgabe: Ist X nach oben beschränkt und ist S die Menge aller oberen Schranken von X, so ist S nach unten beschränkt und es gilt inf(S) = sup(X). 

S nach unten beschränkt   ist klar, weil jedes El. x von X eine untere Schranke von S ist; denn alle y aus S

müssen ja größer oder gleich x sein.

Demnach existieren   inf(S) und  (da X nach oben beschr.)  auch sup(X) und sind reelle Zahlen.

Da inf(S) eine untere Schranke von S ist gilt  inf(S) ≤ y für alle y ∈ S

da sup(X) eine obere Schranke von X ist , gilt   sup(X)  ∈ S also  inf(S) ≤  sup(X) .

Jetzt kommt der Widerspruchsbeweis:

Wäre nun     inf(S) < sup(X) , dann gäbe es z ∈ IR mit     inf(S) < z <  sup(X)

Dann wäre z kleiner als die kleinste obere  Schranke von X , 

also z keine obere Schranke von X .

Andererseits ist z größer als inf(S) , also gibt es s aus S mit s<z.

also ist z größer als eine obere Schranke s von X und damit ist z

selbst eine obere Schranke von X.  Widerspruch !